📘 李雅普诺夫稳定性 · 实战
30 章 · 从直觉到现代控制
01
稳定性概念与直觉
什么是稳定性？从物理摆锤到控制系统的直观理解。
02
李雅普诺夫生平与思想起源
李雅普诺夫其人、第一法与第二法的核心思想对比。
03
数学预备知识（一）
标量函数的正定性、负定性、半正定性、半负定性。
04
数学预备知识（二）
矩阵的正定性判定、Sylvester准则。
05
数学预备知识（三）
Barbalat引理与不变集原理简介。
06
李雅普诺夫第一法（间接法）
线性化原理、平衡点附近的稳定性判断。
07
李雅普诺夫第二法（直接法）核心思想
能量视角、V函数的概念与直觉。
08
李雅普诺夫稳定性定理
V正定、V点负定 → 渐近稳定。
09
一致稳定性与渐近稳定性定理
时变系统的处理。
10
李雅普诺夫不稳定性定理
V正定、V点正定 → 不稳定。
11
线性时不变系统的李雅普诺夫方程
ATP + PA = -Q，求解P矩阵。
12
线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性判据
P正定 ⇔ 系统渐近稳定。
13
MATLAB实战（一）
使用lyap函数求解李雅普诺夫方程。
14
MATLAB实战（二）
绘制状态轨迹与V函数等高线图。
15
Python实战（一）
使用SciPy求解李雅普诺夫方程。
16
Python实战（二）
使用Matplotlib可视化V函数与系统轨迹。
17
克拉索夫斯基方法
构造V函数的实用技巧。
18
变量梯度法
另一种构造V函数的系统化方法。
19
非线性系统的李雅普诺夫分析（一）
简单非线性系统的V函数构造。
20
非线性系统的李雅普诺夫分析（二）
Lur'e问题与绝对稳定性。
21
LaSalle不变集原理
当V点不是负定时怎么办？
22
指数稳定性
比渐近稳定性更强的概念。
23
输入-状态稳定性（ISS）
考虑外部输入的稳定性。
24
机器人控制中的应用
PD控制器的稳定性证明。
25
电力系统中的应用
同步发电机的暂态稳定分析。
26
飞行器控制中的应用
姿态控制系统的稳定性。
27
自适应控制中的应用
模型参考自适应控制。
28
神经网络中的应用
Hopfield网络的稳定性。
29
滑模控制中的应用
滑模面的到达条件。
30
课程总结与进阶之路
从李雅普诺夫到现代控制理论。