4、统计套利基础：平稳性检验、协整关系、回归分析、残差分析
统计套利，说白了就是找两个品种之间的「稳定关系」。
你想想看，如果A和B的价格走势长期来看是绑在一起的，那一旦它们暂时分开，就是我们的机会。但这里有个前提——你得先确认它们的关系是「真稳定」，而不是「假暧昧」。
我个人习惯把这一章叫做「地基工程」。地基没打好，后面建的模型再漂亮，也是空中楼阁。
4.1 平稳性检验：别被假象骗了
先问一个问题：为什么非平稳数据不能直接用来做回归？
因为两个完全不相关的随机游走序列，跑个回归出来，R²可能高达0.9。这就是典型的「伪回归」。我在项目中遇到过好几次，刚看到结果时兴奋得不行，结果一检查，全是假的。
平稳性，简单理解就是：
- 均值是常数，不随时间漂移
- 方差是常数，不会越波动越大
- 协方差只跟时间间隔有关，跟具体时间点无关
检验平稳性最常用的工具是ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）。
核心逻辑：
原假设H₀：序列存在单位根（非平稳）
备择假设H₁：序列平稳
p值 < 0.05 → 拒绝H₀ → 序列平稳
嗯，这里要注意：ADF检验对滞后阶数的选择比较敏感。我一般用AIC或BIC自动选滞后阶数，而不是拍脑袋定一个固定值。
# Python示例：ADF检验
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
def check_stationarity(series, name=''):
result = adfuller(series.dropna(), autolag='AIC')
p_value = result[1]
print(f'{name} ADF p-value: {p_value:.4f}')
if p_value < 0.05:
print(f' → {name} 是平稳的')
else:
print(f' → {name} 非平稳，需要差分')
return p_value如果原始序列非平稳，怎么办？
- 一阶差分后通常就平稳了（I(1)过程）
- 但差分会丢失长期信息，所以后面我们会用协整来保留它
4.2 协整关系：找到那个「绑在一起的绳子」
两个非平稳序列，如果它们的线性组合是平稳的，那它们就存在协整关系。
你可以把协整想象成「一根绳子牵着两条狗」。每只狗各自乱跑（非平稳），但绳子长度基本固定（线性组合平稳）。
检验协整的经典方法是Engle-Granger两步法：
- 第一步：用OLS做回归，得到残差序列
- 第二步：对残差做ADF检验，看是否平稳
避坑指南：
我曾经犯过一个低级错误——直接用价格做回归，忘了先确认两个序列都是I(1)。结果残差看起来平稳，其实是因为样本量太小导致的假象。后来我养成了习惯：做协整之前，一定先分别做ADF检验，确认同阶单整。
# Python示例：Engle-Granger协整检验
import statsmodels.api as sm
def engle_granger_test(y, x):
# 第一步：OLS回归
x_with_const = sm.add_constant(x)
model = sm.OLS(y, x_with_const).fit()
residuals = model.resid
# 第二步：残差ADF检验
adf_result = adfuller(residuals.dropna(), autolag='AIC')
p_value = adf_result[1]
print(f'协整检验 p-value: {p_value:.4f}')
if p_value < 0.05:
print('→ 存在协整关系')
else:
print('→ 不存在协整关系')
return p_value, model.params除了Engle-Granger，还有Johansen检验，适合多品种协整。我个人习惯：做两品种套利用EG就够了，三品种以上才上Johansen。
4.3 回归分析：找到那个「最优比例」
一旦确认了协整关系，下一步就是找到具体的对冲比例。
说白了，就是解一个方程：
价差 = Y - β × X
这个β就是我们要找的对冲系数。
最直接的方法是用OLS回归：
# OLS回归求对冲比例
import numpy as np
def calculate_hedge_ratio(y, x):
# 直接用numpy的lstsq
X = np.column_stack([np.ones(len(x)), x])
beta, alpha = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
print(f'对冲比例 β = {beta:.4f}')
print(f'截距项 α = {alpha:.4f}')
return beta, alpha但这里有个坑——OLS假设误差是独立同分布的，而金融数据往往有异方差和自相关。
我建议的做法：
- 先用OLS跑一遍，得到初步的β
- 然后用这个β构建价差，再对价差做平稳性检验
- 如果价差平稳，说明β可用
- 如果不平稳，试试用稳健回归（如Huber回归）
注意：
回归时要不要加截距项？我个人习惯加。因为两个品种之间可能存在固定的基差，截距项就是用来捕捉这个的。但如果你做的是期货跨期套利，理论上截距应该接近0，这时候可以强制过原点。
4.4 残差分析：价差信号的「体检报告」
残差，就是价差。它是我们交易信号的直接来源。
残差分析要回答三个问题：
- 残差平稳吗？——这是协整检验已经做过的
- 残差的分布特征？——均值、标准差、偏度、峰度
- 残差的自相关性？——影响我们开仓信号的独立性
# 残差分析
def residual_analysis(residuals):
mean = np.mean(residuals)
std = np.std(residuals)
# 计算Z-score
z_scores = (residuals - mean) / std
# 自相关检验（Ljung-Box）
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
lb_result = acorr_ljungbox(residuals, lags=[10], return_df=True)
print(f'残差均值: {mean:.4f}')
print(f'残差标准差: {std:.4f}')
print(f'Ljung-Box p-value: {lb_result["lb_pvalue"].values[0]:.4f}')
# 判断开仓信号
entry_threshold = 2.0 # 2倍标准差
long_signal = z_scores < -entry_threshold
short_signal = z_scores > entry_threshold
return z_scores, long_signal, short_signal嗯，这里有个经验值：
- Z-score超过±2 → 开仓
- Z-score回归到0附近 → 平仓
- Z-score超过±3 → 小心，可能是结构变了
实战中的一个小技巧：
我习惯用滚动窗口来更新回归系数。比如用过去60天的数据每天重新算一次β。这样能捕捉到品种关系的缓慢变化。但窗口不能太小，否则β会乱跳。我个人觉得60-120天是个不错的区间。
4.5 完整流程总结
把上面这些串起来，一个完整的统计套利流程就是：
| 步骤 | 做什么 | 关键指标 |
|---|---|---|
| 1. 数据准备 | 获取两个品种的价格序列 | 同频、对齐时间戳 |
| 2. 平稳性检验 | 分别对两个序列做ADF检验 | p值 < 0.05 |
| 3. 协整检验 | EG两步法或Johansen检验 | 残差ADF p值 < 0.05 |
| 4. 回归分析 | OLS求对冲比例β | β稳定、残差平稳 |
| 5. 残差分析 | 计算Z-score，设定阈值 | 均值≈0，标准差稳定 |
| 6. 信号生成 | Z-score突破阈值开仓，回归平仓 | 回测夏普比 > 1.5 |
最后说一句：统计套利不是万能药。它假设品种间的关系是稳定的，但市场结构会变。我见过太多人拿着历史回测曲线就冲进去，结果实盘一跑就崩了。
所以，每次开仓前问自己一句：这个价差回归，是统计上的必然，还是我的一厢情愿？