逆Z变换：三种实用方法详解

逆Z变换，说白了就是把Z域的信号变回时域。这步做不好，前面算半天也是白搭。我个人习惯把这三种方法——部分分式展开、幂级数展开、留数法——当成工具箱里的三把扳手，各有各的适用场景。

方法一：部分分式展开法

这是我最常用的方法，没有之一。为什么？因为它直观，而且跟拉普拉斯变换里的部分分式展开几乎一模一样。你想想看，我们手头有个有理分式X(z)，把它拆成几个简单分式之和，每个简单分式对应一个已知的逆Z变换对，查表就完事了。

具体步骤我总结为三步：

1. 预处理：如果分子阶数≥分母阶数，先做多项式除法，得到真分式部分
2. 因式分解：将分母分解为(z - p₁)(z - p₂)...的形式
3. 展开：根据极点类型（单极点、重极点）写出展开式，待定系数

我在项目中遇到过这样一个例子：

X(z) = (z² + 2z + 1) / (z² - 0.5z + 0.06)，|z| > 0.3

先做多项式除法：

X(z) = 1 + (2.5z + 0.94) / (z² - 0.5z + 0.06)

分母因式分解：(z - 0.2)(z - 0.3)

设展开式：

(2.5z + 0.94) / [(z - 0.2)(z - 0.3)] = A/(z - 0.2) + B/(z - 0.3)

解出A和B：

A = (2.5×0.2 + 0.94)/(0.2 - 0.3) = 1.44/(-0.1) = -14.4
B = (2.5×0.3 + 0.94)/(0.3 - 0.2) = 1.69/0.1 = 16.9

所以：

X(z) = 1 - 14.4/(z - 0.2) + 16.9/(z - 0.3)

查表得：

x[n] = δ[n] - 14.4×(0.2)^(n-1)u[n-1] + 16.9×(0.3)^(n-1)u[n-1]

方法二：幂级数展开法（长除法）

这个方法说白了就是做多项式除法。把X(z)写成z⁻¹的幂级数形式，系数就是x[n]。适合求前几个样本值，或者当X(z)形式复杂、极点不好求的时候。

嗯，这里要注意：收敛域决定你是做z⁻¹的升幂排列还是降幂排列。

• 右边序列（|z| > R）：做z⁻¹的升幂排列（分子分母按z的降幂排列）
• 左边序列（|z| < R）：做z的升幂排列（分子分母按z的升幂排列）

举个例子，还是上面那个X(z)：

X(z) = (z² + 2z + 1) / (z² - 0.5z + 0.06)，|z| > 0.3

分子分母同除以z²：

X(z) = (1 + 2z⁻¹ + z⁻²) / (1 - 0.5z⁻¹ + 0.06z⁻²)

做长除法：

       1 + 2.5z⁻¹ + 1.19z⁻² + ...
──────────────────────────────
1 - 0.5z⁻¹ + 0.06z⁻² ) 1 + 2z⁻¹ + z⁻²
       1 - 0.5z⁻¹ + 0.06z⁻²
       ────────────────────
           2.5z⁻¹ + 0.94z⁻²
           2.5z⁻¹ - 1.25z⁻² + 0.15z⁻³
           ──────────────────────────
                   1.19z⁻² - 0.15z⁻³
                   ...

所以x[0]=1, x[1]=2.5, x[2]=1.19... 跟部分分式法算出来的前几个值一致。

方法三：留数法

留数法，说白了就是围线积分。公式长这样：

x[n] = (1/2πj) ∮ X(z)z^(n-1) dz = Σ Res[X(z)z^(n-1) 在极点处]

看着吓人，其实用起来很简单——就是求X(z)z^(n-1)在所有极点处的留数之和。

对于单极点z=p：

Res = (z - p)X(z)z^(n-1) 在z=p处的值

对于m阶重极点：

Res = 1/(m-1)! × d^(m-1)/dz^(m-1) [(z-p)^m X(z)z^(n-1)] 在z=p处的值

还是那个例子：

X(z) = (z² + 2z + 1) / (z² - 0.5z + 0.06)，|z| > 0.3

X(z)z^(n-1) = (z² + 2z + 1)z^(n-1) / [(z - 0.2)(z - 0.3)]

在z=0.2处的留数：

Res₁ = (z - 0.2)X(z)z^(n-1)|_{z=0.2} = (0.2² + 2×0.2 + 1)×0.2^(n-1)/(0.2 - 0.3)
     = 1.44×0.2^(n-1)/(-0.1) = -14.4×0.2^(n-1)

在z=0.3处的留数：

Res₂ = (z - 0.3)X(z)z^(n-1)|_{z=0.3} = (0.3² + 2×0.3 + 1)×0.3^(n-1)/(0.3 - 0.2)
     = 1.69×0.3^(n-1)/0.1 = 16.9×0.3^(n-1)

注意n=0时，z^(n-1)=z⁻¹，在z=0处还有一个极点，需要单独处理。所以：

x[n] = -14.4×0.2^(n-1)u[n-1] + 16.9×0.3^(n-1)u[n-1] + δ[n]

跟部分分式法结果完全一致。

三种方法对比

方法	适用场景	优点	缺点
部分分式展开	有理分式，极点易求	能得到闭式解，步骤清晰	重极点时计算稍繁
幂级数展开	求前N个样本值	简单直接，不用求极点	无法得到通项公式
留数法	理论分析，任意形式	通用性强，数学严谨	手算易错，n=0需单独处理

知识体系结构图

三种方法各有千秋。我个人习惯是：遇到有理分式先用部分分式法，如果只需要前几个样本值就用长除法，做理论推导时用留数法。你想想看，掌握了这三种方法，基本上所有逆Z变换问题都能搞定。