第2章：标定基础理论——坐标系定义与投影模型

各位同学，今天我们来聊聊标定中最基础、也最绕不开的部分——坐标系和投影模型。说实话，我刚入行那会儿，被这四个坐标系绕得晕头转向。后来在项目里吃过亏，才真正搞明白它们之间的关系。

2.1 四大坐标系，一个都不能少

仿生眼系统里，我们打交道的主要有四个坐标系。我习惯把它们想象成一个流水线：世界坐标系→相机坐标系→图像坐标系→像素坐标系。每一步都是一个变换。

2.1.1 世界坐标系 (World Coordinate System)

世界坐标系，说白了就是“绝对参考系”。你放一个物体在空间里，它的位置用(Xw, Yw, Zw)表示。这个坐标系是你自己定的，原点可以选在机器人底座、房间角落，或者随便哪里。

2.1.2 相机坐标系 (Camera Coordinate System)

相机坐标系的原点在相机光心，Z轴沿着光轴方向朝前。这个坐标系描述的是“物体相对于相机的位置”。

嗯，这里要注意：相机坐标系和世界坐标系之间，存在一个刚体变换。这个变换由旋转矩阵R和平移向量t组成。我在项目中遇到过，有人把R和t搞反了，结果重建出来的3D点全跑偏了。

2.1.3 图像坐标系 (Image Coordinate System)

图像坐标系是二维的，原点在图像中心（主点），单位是毫米。它描述的是“物体在成像平面上的物理位置”。

为什么会从三维降到二维？因为针孔相机模型嘛。光线穿过光心，在成像平面上投影。这个投影过程，就是我们后面要讲的透视变换。

2.1.4 像素坐标系 (Pixel Coordinate System)

像素坐标系也是二维的，但原点在图像左上角，单位是像素。它描述的是“图像中每个像素的行列位置”。

从图像坐标系到像素坐标系，其实就是个缩放+平移。缩放因子是像素的物理尺寸（dx, dy），平移量是主点坐标（u0, v0）。

像素坐标(u, v) = (图像坐标x / dx + u0, 图像坐标y / dy + v0)

2.2 刚体变换：旋转与平移

刚体变换，就是物体在空间里“挪动”但不发生形变。它由两部分组成：旋转和平移。

2.2.1 旋转矩阵

旋转矩阵R是一个3x3的正交矩阵，行列式为+1。它描述了坐标系之间的旋转关系。

我曾经犯过一个低级错误：直接用欧拉角做插值，结果出现了万向锁。后来我改用四元数，问题就解决了。所以这里建议你，如果要做平滑旋转，用四元数比欧拉角靠谱。

2.2.2 平移向量

平移向量t = (tx, ty, tz)表示两个坐标系原点之间的位移。

完整的刚体变换可以写成：

Pc = R * Pw + t

其中Pw是世界坐标，Pc是相机坐标。

2.3 针孔相机模型详解

针孔相机模型，是相机成像的最基本模型。它假设光线沿直线传播，穿过一个小孔（光心），在成像平面上形成倒像。

你想想看，这个模型虽然简单，但已经能解释大部分成像现象了。比如为什么远处的物体看起来小？因为投影比例嘛。

2.3.1 投影公式

假设相机坐标系下有一点P = (X, Y, Z)，它在图像平面上的投影坐标为：

x = f * X / Z
y = f * Y / Z

其中f是焦距。这个公式看着简单，但它是整个标定理论的基石。

2.3.2 内参矩阵

把上面的公式写成矩阵形式，就得到了内参矩阵K：

K = [fx, 0, u0;
     0, fy, v0;
     0,  0,  1]

其中fx = f/dx, fy = f/dy，是归一化焦距。u0, v0是主点坐标。

s * [u, v, 1]^T = K * [R|t] * [Xw, Yw, Zw, 1]^T

2.3.3 畸变模型

真实的相机不是完美的针孔。镜头会有畸变，主要是径向畸变和切向畸变。

径向畸变：图像边缘的直线会变弯。桶形畸变和枕形畸变就是典型的径向畸变。

切向畸变：镜头和成像平面不平行导致的。

我记得第一次做标定时，忽略了畸变校正，结果重建出来的3D点误差很大。后来加上畸变模型，精度立马就上去了。

2.4 知识体系总览

下面这张图，是我自己整理的本章知识结构。你可以把它当作一个思维导图来看。

2.5 本章小结

好了，这一章的内容就这些。总结一下：

• 四个坐标系：世界、相机、图像、像素，它们之间通过刚体变换、透视投影和仿射变换连接。
• 针孔相机模型：是最基本的成像模型，内参矩阵K和外参[R|t]是标定的核心参数。
• 畸变校正：真实相机必须考虑畸变，否则精度上不去。

我个人觉得，理解坐标系之间的变换关系，比死记硬背公式更重要。你想想看，只要搞清楚了“从哪来到哪去”，公式自然就记住了。

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