3. 随机信号分析：随机过程基本概念、平稳性与各态历经性、高斯过程、白噪声与带限白噪声
好，咱们进入第三章。随机信号分析。
说实话，很多同学一看到“随机”两个字就头大。觉得这东西飘忽不定，没法下手。我当年刚学的时候也这么想。但后来做项目多了，发现这玩意儿其实特别实在。你想想看，通信系统里哪个信号是确定的？没有。全是随机信号。语音、图像、噪声，哪个不是随机的？
所以，搞通信的人，必须跟随机过程做朋友。今天我就带你把它拿下。
3.1 随机过程基本概念
先问个问题：随机过程和随机变量有啥区别？
简单说，随机变量是一次试验的结果。比如你扔一次骰子，得到一个点数。随机过程呢？是随时间变化的一连串随机变量。比如你连续扔骰子，每秒钟扔一次，记录下来的点数序列，就是一个随机过程。
用数学语言说：随机过程 X(t) 是时间 t 的函数，在任意时刻 t₀，X(t₀) 是一个随机变量。
我个人习惯把随机过程想象成“一群样本函数的集合”。什么意思？
- 你做一次实验，得到一条随时间变化的曲线，这叫一个样本函数（或实现）。
- 你做无数次实验，得到无数条曲线，这整个集合就是随机过程。
举个例子：你测量一个电阻的热噪声。今天测一次，明天测一次，每次得到的波形都不一样。但所有可能波形的集合，就是一个随机过程。
核心考点：区分“随机过程”和“样本函数”。面试时经常问：给定一个随机过程，让你写出它的均值函数、自相关函数。这其实就是对每个时刻 t 求统计平均。
均值函数：μX(t) = E[X(t)]
自相关函数：RX(t₁, t₂) = E[X(t₁)X(t₂)]
这两个函数，是描述随机过程最基本的工具。你想想看，均值告诉你信号的平均水平，自相关告诉你不同时刻之间的关联程度。搞通信的，最关心的就是相关性——因为它直接关系到你能传多快的数据。
3.2 平稳性与各态历经性
好，现在问题来了。一个随机过程，它的统计特性可能随时间变化。比如你早上测的噪声和晚上测的噪声，均值不一样。这就很麻烦。因为你没法用一个统一的模型来描述它。
所以，我们喜欢平稳随机过程。
3.2.1 严平稳 vs 宽平稳
严平稳：统计特性与时间起点无关。说白了，你把时间轴平移一下，概率分布完全不变。这个条件太强了，实际中很少用。
宽平稳（WSS）：只要求两个条件：
- 均值是常数：E[X(t)] = μ（与 t 无关）
- 自相关只与时间差有关：RX(t₁, t₂) = RX(τ)，其中 τ = t₁ - t₂
嗯，这里要注意：宽平稳是通信中最常用的。你以后看到“平稳随机过程”，默认指宽平稳。
我的经验：我在做OFDM系统仿真时，经常假设信道是宽平稳的。这样我就可以用功率谱密度来描述信道特性，大大简化了分析。但实际信道往往是非平稳的，比如你拿着手机走路，信道特性就在变。这时候就要用分段平稳的模型来处理。
3.2.2 各态历经性
这个概念，我当年理解了好久。说白了就是：能不能用一次实验的时间平均，代替多次实验的统计平均？
你想想看，理论上你要算均值，得做无数次实验，对每个时刻求平均。这谁受得了？但如果过程是各态历经的，我只需要拿一条样本函数，对时间求平均，就能得到统计均值。
数学上：
时间平均：⟨X(t)⟩ = limT→∞ (1/2T) ∫-TT x(t) dt
各态历经性要求：⟨X(t)⟩ = E[X(t)]
避坑指南：我曾经在项目里犯过一个错误。我采集了一段噪声数据，直接用时间平均算它的功率。结果发现跟理论值对不上。后来一查，原来这个噪声过程不是各态历经的——它的均值随时间缓慢漂移。所以，用时间平均之前，一定要先判断过程是否各态历经。怎么判断？通常要求自相关函数在 τ→∞ 时趋于 0，且过程是平稳的。
3.3 高斯过程
高斯过程，就是通信系统里最重要的随机过程。没有之一。
为什么？因为中心极限定理告诉我们，大量独立随机变量之和，趋近于高斯分布。而通信系统中的噪声，往往是大量微观粒子热运动的结果，所以它服从高斯分布。
高斯过程的定义：任意 n 个时刻的采样，都服从联合高斯分布。
高斯过程有几个特别好的性质：
- 线性变换不变性：高斯过程经过线性系统，输出仍然是高斯过程。这个太重要了。你想想，信号经过滤波器，噪声还是高斯噪声，分析起来多方便。
- 不相关等价于独立：对于高斯过程，如果两个时刻的采样不相关（自相关为0），那么它们就是统计独立的。这个性质在非高斯过程中不成立。
- 一阶和二阶矩完全描述：高斯过程的概率密度函数，完全由均值和自相关函数决定。所以，只要知道这两个，你就知道了一切。
面试高频题：“高斯白噪声通过一个带通滤波器后，输出是什么？”
答案：输出是带限高斯噪声，仍然是高斯过程。均值为0，功率谱密度在通带内为 N₀/2，通带外为0。
3.4 白噪声与带限白噪声
白噪声，是通信理论中一个理想化的模型。
白噪声的定义：功率谱密度在整个频率轴上为常数，即 SX(f) = N₀/2（双边谱）。
对应的自相关函数：RX(τ) = (N₀/2) δ(τ)。
这意味着什么？白噪声在任何两个不同时刻都是不相关的。换句话说，它“毫无记忆”。
但现实中，不存在真正的白噪声。因为它的功率是无限的（对所有频率都有功率）。实际中我们遇到的是带限白噪声。
3.4.1 带限白噪声
带限白噪声，就是功率谱密度在某个频带内为常数，频带外为0。
常见的有两种：
- 低通白噪声：功率谱在 |f| ≤ B 内为 N₀/2，之外为0。自相关函数是 sinc 函数：R(τ) = N₀ B sinc(2Bτ)。
- 带通白噪声：功率谱在 f₀ ± B/2 内为 N₀/2，之外为0。自相关函数是调制后的 sinc 函数。
这里有个关键点：带限白噪声在不同时刻是相关的。因为它的自相关函数不是 δ 函数，而是 sinc 函数。sinc 函数有旁瓣，说明相隔一定时间的采样之间还有相关性。
我的建议：做仿真时，千万别直接用 randn 生成白噪声然后说“这是带限的”。randn 生成的是理想白噪声，它的功率谱是平的，但带宽是无限的。要生成带限白噪声，你得先让白噪声通过一个低通滤波器。我习惯用 fir1 设计一个低通滤波器，然后用 filter 函数滤波。这样得到的噪声才是真正的带限白噪声。
3.5 知识体系总览
下面我用一张图，把这一章的核心逻辑串起来。你把它存下来，复习时看一眼就全想起来了。
这张图把这一章的核心逻辑都串起来了。你从“随机过程”出发，往左走是基本概念，往右走是高斯过程，中间是平稳性和各态历经性，下面是白噪声。每个分支之间都有联系——比如，高斯白噪声就是高斯过程和白噪声的交集。
好了，这一章就到这里。记住：随机信号不可怕，可怕的是你不去理解它背后的统计规律。搞通信的，跟随机过程打交道是家常便饭。把今天讲的这几个概念吃透，后面讲功率谱、讲信道容量，你就轻松多了。
公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321