4. 信用曲线构建：从CDS报价到生存概率曲线的转换

做信用衍生品做市，最基础也最绕不开的一步，就是构建信用曲线。

说白了，就是把市场上那些零散的CDS报价，变成一条连续的、能用来给任何期限的信用产品定价的生存概率曲线。这个过程，我习惯叫它「剥息法」——跟债券里剥息曲线一个道理，但逻辑上更贴近违约风险。

4.1 为什么需要信用曲线？

你想想看，市场上交易的CDS，通常只有几个标准期限：6个月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。但实际做市时，客户要的可能是个4.5年的CDS，或者一个7.25年的。怎么办？

你不能说「不好意思，没有这个期限的报价」。你得自己算出来。

信用曲线就是干这个的。它把离散的报价点，变成一条连续的曲线。有了它，任何期限的违约概率、信用利差，你都能插值得到。

4.2 从CDS报价到违约强度

先看一个最简单的例子。

假设某公司1年期CDS报价为100个基点（bps）。这意味着什么？

嗯，这里要注意：CDS的保费是分期支付的，但为了讲清楚核心逻辑，我们先忽略 accrued premium 和违约时间点的问题，用连续时间模型来理解。

在连续时间框架下，CDS的保费腿（premium leg）和赔付腿（protection leg）要相等。公式长这样：

保费腿 = s * ∫₀ᵀ e^(-rt) * S(t) dt
赔付腿 = (1-R) * ∫₀ᵀ e^(-rt) * (-dS(t))

其中：

• s = CDS报价（bps）
• r = 无风险利率
• S(t) = t时刻的生存概率
• R = 回收率（通常假设40%）

如果假设违约强度λ是常数，那么生存概率就是 S(t) = e^(-λt)。代入上面两个积分，化简后得到：

s = (1-R) * λ

所以：

λ = s / (1-R)

举个例子：s=100bps=0.01，R=40%，那么 λ = 0.01 / 0.6 ≈ 0.01667。也就是说，该公司的年化违约强度约为1.667%。

4.3 从违约强度到生存概率曲线

有了违约强度λ，生存概率就很简单了：

S(t) = e^(-λt)

但问题是，不同期限的CDS报价，对应的λ是不一样的。1年期和5年期的λ通常不同。这就引出了「剥息法」的核心思路。

4.4 剥息法：逐期限求解

剥息法的逻辑是这样的：

1. 从最短期限开始（比如6个月），假设该期限内λ为常数，用该期限的CDS报价反解出λ₁。
2. 然后处理下一个期限（比如1年）。此时，0-6个月的λ已经知道了，我们假设6个月-1年之间λ为常数λ₂，用1年期CDS报价反解λ₂。
3. 以此类推，逐段求解，直到覆盖所有期限。

这样做的好处是：每个期限的CDS报价只影响该段及之后的曲线，不会「污染」前面的结果。

4.5 代码实现：从CDS报价到生存概率

下面是一个简化的Python实现。假设我们有三个期限的CDS报价：1年、3年、5年。

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

# CDS报价（bps）
cds_quotes = {
    1: 100,   # 1年
    3: 150,   # 3年
    5: 180    # 5年
}

# 无风险利率（连续复利）
r = 0.03
# 回收率
R = 0.4

# 存储结果：每个时间段的违约强度
lambdas = []
time_points = sorted(cds_quotes.keys())

def survival_prob(t, lambdas, time_points):
    """计算t时刻的生存概率"""
    sp = 1.0
    prev_t = 0
    for i, tp in enumerate(time_points):
        if t <= tp:
            sp *= np.exp(-lambdas[i] * (t - prev_t))
            break
        else:
            sp *= np.exp(-lambdas[i] * (tp - prev_t))
            prev_t = tp
    return sp

def cds_price(s, T, lambdas, time_points, r, R):
    """计算CDS价格（保费腿 - 赔付腿）"""
    # 简化：假设保费连续支付，违约发生在到期时
    # 实际中要用数值积分
    n_steps = 100
    dt = T / n_steps
    premium_leg = 0
    protection_leg = 0
    for i in range(n_steps):
        t = (i + 0.5) * dt
        sp = survival_prob(t, lambdas, time_points)
        premium_leg += s * np.exp(-r * t) * sp * dt
        # 违约概率密度
        if t <= time_points[len(lambdas)-1]:
            idx = np.searchsorted(time_points, t)
            lambda_t = lambdas[min(idx, len(lambdas)-1)]
            protection_leg += (1-R) * np.exp(-r * t) * sp * lambda_t * dt
    return premium_leg - protection_leg

# 剥息法逐段求解
for i, T in enumerate(time_points):
    def f(s):
        return cds_price(s, T, lambdas + [0], time_points[:i+1], r, R) - 0
    # 用brentq求解使CDS价格为0的违约强度
    # 注意：这里s是违约强度，不是CDS报价
    # 实际中需要嵌套求解
    # 为简化，直接用公式近似
    lambda_est = cds_quotes[T] / 10000 / (1-R)
    lambdas.append(lambda_est)

print("各时间段违约强度：")
for i, T in enumerate(time_points):
    print(f"{T}年: λ = {lambdas[i]:.6f}")

# 计算生存概率曲线
print("\n生存概率：")
for t in [0.5, 1, 2, 3, 4, 5]:
    sp = survival_prob(t, lambdas, time_points)
    print(f"t={t}年: S(t) = {sp:.4f}")

4.6 信用曲线可视化

下面这张图展示了从CDS报价到生存概率曲线的完整流程：

4.7 实际项目中的注意事项

做信用曲线构建，有几个点我特别想强调：

• 回收率假设很敏感：不同交易对手、不同优先级，回收率差异很大。我一般会同时算40%和20%两套曲线，看价差影响。
• 插值方法要选对：生存概率曲线本身应该是单调递减的。用线性插值可能会出负概率，我习惯用log-linear插值，保证单调性。
• 流动性调整：有些期限的CDS报价可能很久没更新了。遇到这种情况，我会给一个流动性折扣，或者直接用相邻期限的报价做平滑。

4.8 小结

信用曲线构建，说白了就是把市场报价翻译成数学上可用的生存概率。剥息法是最经典的做法，但实际中要根据市场情况做调整。

嗯，这一章的内容就到这里。代码虽然简化了，但核心逻辑是通用的。你可以在自己的项目里试试看，从最简单的两三个期限开始，慢慢加复杂度。

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