2. 平稳性与单位根检验：为什么均值回归策略只对平稳时间序列有效？ADF检验与KPSS检验的实战应用

做均值回归策略，第一个绕不开的问题就是：这个品种到底能不能回归？

我刚开始做量化那会儿，踩过一个坑。当时看到某只股票价格跌到历史低位，觉得「跌多了肯定涨回来」，直接重仓杀入。结果呢？它一路跌到退市。后来复盘才发现，那根本不是均值回归，而是趋势反转——或者说，它根本就不是一个平稳序列。

所以今天咱们就来聊聊，为什么平稳性是均值回归策略的命根子，以及怎么用ADF检验和KPSS检验来给数据「体检」。

2.1 什么是平稳时间序列？

先给个直观理解。平稳时间序列，说白了就是：统计性质不随时间变化。

具体来说，一个序列如果满足以下三个条件，就称为弱平稳（也叫宽平稳）：

• 均值恒定：序列的期望值不随时间变化，比如始终围绕0上下波动
• 方差恒定：波动幅度不随时间变化，不会出现「前期平稳、后期剧烈震荡」
• 协方差只与时间间隔有关：两个时间点的相关性只取决于它们相隔多远，与具体时刻无关

举个例子：白噪声序列就是最完美的平稳序列。它均值是0，方差恒定，任意两个时间点都不相关。

那非平稳序列长什么样？

• 趋势性：比如股价长期上涨，均值一直在变
• 季节性：比如气温数据，冬天低夏天高，均值周期性变化
• 随机游走：比如大多数股票价格，今天的价格 = 昨天的价格 + 随机扰动

嗯，这里要注意：随机游走是非平稳的典型代表。而均值回归策略，恰恰要求序列是平稳的——因为只有平稳序列，价格才会围绕某个均值来回摆动。

2.2 为什么均值回归策略只对平稳序列有效？

我习惯用一个比喻来解释这个问题：

想象你手里牵着一只狗，狗绳长度固定。狗会跑来跑去，但始终被你牵着——这就是平稳序列，狗（价格）围绕你（均值）来回摆动。你可以在狗跑远时拉回来（做空），在狗跑近时放出去（做多）。

但如果狗绳断了呢？狗越跑越远，你再也拉不回来——这就是非平稳序列。你之前以为的「回归」，其实只是趋势中的一次回调。

从数学角度看，均值回归策略通常基于以下假设：

• 价格序列 X_t 是平稳的，存在长期均值 μ
• 当 X_t 偏离 μ 时，有向 μ 回复的倾向
• 偏离程度越大，回复力度越强

如果序列非平稳，比如 X_t 是随机游走：

X_t = X_{t-1} + ε_t

那么任何一次「偏离」都可能是永久性的。你基于历史均值做的交易决策，很可能就是错的。

2.3 单位根检验：判断平稳性的核心工具

怎么判断一个序列是否平稳？最常用的方法就是单位根检验。

先简单说说单位根是什么。考虑一个一阶自回归模型：

X_t = ρ * X_{t-1} + ε_t

如果 |ρ| < 1，序列是平稳的（冲击会衰减）。如果 ρ = 1，就是随机游走（冲击永久存在）。这个 ρ = 1 的情况，就叫「存在单位根」。

所以单位根检验，本质上就是检验 ρ 是否等于1。

常用的两种检验方法：

检验方法	原假设 H0	备择假设 H1	适用场景
ADF检验	存在单位根（非平稳）	不存在单位根（平稳）	检测趋势平稳或差分平稳
KPSS检验	不存在单位根（平稳）	存在单位根（非平稳）	检测趋势平稳或水平平稳

你发现没有？这两个检验的假设正好相反。所以我的习惯是：两个检验一起做，交叉验证。

2.4 ADF检验实战应用

ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验是最常用的单位根检验。它扩展了DF检验，加入了滞后项来处理自相关。

直接上代码：

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss
import matplotlib.pyplot as plt

# 下载数据
ticker = 'SPY'
data = yf.download(ticker, start='2020-01-01', end='2023-12-31')
price = data['Close']

# ADF检验
def adf_test(series, title=''):
    result = adfuller(series.dropna(), autolag='AIC')
    print(f'=== ADF检验: {title} ===')
    print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
    print(f'p值: {result[1]:.4f}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    if result[1] < 0.05:
        print('结论: 拒绝原假设，序列平稳')
    else:
        print('结论: 不能拒绝原假设，序列非平稳')
    return result

# 对价格序列做ADF检验
adf_test(price, 'SPY收盘价')

# 对收益率序列做ADF检验
returns = price.pct_change().dropna()
adf_test(returns, 'SPY日收益率')

运行结果通常是这样：

• 价格序列：p值很大（比如0.5），不能拒绝非平稳——说明价格本身不平稳
• 收益率序列：p值很小（比如0.0001），拒绝非平稳——说明收益率是平稳的

这解释了为什么很多均值回归策略用收益率或价差，而不是直接用价格。

2.5 KPSS检验实战应用

KPSS（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin）检验是ADF的互补工具。它的原假设是「序列平稳」。

def kpss_test(series, title=''):
    result = kpss(series.dropna(), regression='c', nlags='auto')
    print(f'\n=== KPSS检验: {title} ===')
    print(f'KPSS统计量: {result[0]:.4f}')
    print(f'p值: {result[1]:.4f}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[3].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    if result[1] < 0.05:
        print('结论: 拒绝原假设，序列非平稳')
    else:
        print('结论: 不能拒绝原假设，序列平稳')
    return result

# 对价格序列做KPSS检验
kpss_test(price, 'SPY收盘价')

# 对收益率序列做KPSS检验
kpss_test(returns, 'SPY日收益率')

结果通常：

• 价格序列：p值很小，拒绝平稳——与ADF结论一致
• 收益率序列：p值很大，不能拒绝平稳——也与ADF结论一致

2.6 组合检验：让结论更可靠

单独用ADF或KPSS都可能误判。比如：

• ADF对趋势平稳的序列可能误判为非平稳
• KPSS对接近单位根的序列可能误判为平稳

所以我的标准流程是：

def stationarity_test(series, title=''):
    """组合检验：ADF + KPSS"""
    print(f'\n{"="*50}')
    print(f'平稳性检验: {title}')
    print(f'{"="*50}')
    
    # ADF检验
    adf_result = adfuller(series.dropna(), autolag='AIC')
    adf_pvalue = adf_result[1]
    
    # KPSS检验
    kpss_result = kpss(series.dropna(), regression='c', nlags='auto')
    kpss_pvalue = kpss_result[1]
    
    # 综合判断
    if adf_pvalue < 0.05 and kpss_pvalue > 0.05:
        conclusion = '✅ 序列平稳（ADF和KPSS一致）'
    elif adf_pvalue < 0.05 and kpss_pvalue < 0.05:
        conclusion = '⚠️ 可能存在趋势平稳（ADF说平稳，KPSS说非平稳）'
    elif adf_pvalue > 0.05 and kpss_pvalue > 0.05:
        conclusion = '⚠️ 数据量不足或存在结构性突变'
    else:
        conclusion = '❌ 序列非平稳（ADF和KPSS一致）'
    
    print(f'ADF p值: {adf_pvalue:.4f}')
    print(f'KPSS p值: {kpss_pvalue:.4f}')
    print(f'综合结论: {conclusion}')
    
    return {
        'adf_pvalue': adf_pvalue,
        'kpss_pvalue': kpss_pvalue,
        'conclusion': conclusion
    }

# 使用示例
result = stationarity_test(price, 'SPY收盘价')
result = stationarity_test(returns, 'SPY日收益率')

2.7 知识体系图：平稳性检验的核心逻辑

下面这张图，是我自己梳理的平稳性检验决策流程，分享给你：

2.8 实战中的避坑指南

最后分享几个我踩过的坑：

• 坑一：只看ADF不看KPSS。有一次ADF说序列平稳，我直接用了，结果策略回测很好、实盘很差。后来用KPSS一查，发现序列其实是趋势平稳，均值在缓慢漂移。
• 坑二：不检查滞后阶数。ADF检验的滞后阶数选择很关键。用AIC自动选择通常没问题，但如果你发现结果不稳定，可以手动试试不同阶数。
• 坑三：忽略结构性突变。如果序列在某个时间点发生了结构性变化（比如政策变化、公司重组），那么整个序列可能分段平稳。这时候要用Zivot-Andrews检验或分段检验。
• 坑四：样本量太小。ADF和KPSS对样本量敏感，一般建议至少100个数据点。少于50个时，检验结果基本不可信。

好了，关于平稳性和单位根检验，今天就聊到这儿。记住一句话：没有平稳性，就没有均值回归。下次做策略之前，先给你的数据做个「体检」吧。