第2章统计套利的数学基础

统计套利的数学基础：均值回归、协整性、平稳性（ADF检验）

各位同学，欢迎来到统计套利的数学基础部分。

说实话，很多做量化交易的朋友，一听到「数学基础」四个字就头疼。我当年刚入行时也一样，觉得策略能赚钱就行，管它什么平稳不平稳。结果呢？实盘跑了一个月，回测曲线漂亮得像教科书，实盘却亏得我怀疑人生。后来我才明白——统计套利的根基，就扎在这三个概念上：均值回归、协整性、平稳性。

今天，我就带你把这三块硬骨头啃下来。放心，我会用最接地气的方式讲，代码也会手把手给你看。

1. 均值回归：统计套利的灵魂

什么叫均值回归？说白了就是：价格涨多了会跌，跌多了会涨，最终围绕一个均值来回摆动。

你想想看，如果两只高度相关的股票，比如茅台和五粮液，它们的价差突然拉得很大。这时候，市场情绪迟早会纠正这个偏差。价差会像被一根无形的橡皮筋拉回来。

我个人习惯把均值回归比作「遛狗」——狗（价格）会跑远，但绳子（均值）总会把它拽回来。绳子有多长、弹性多大，就是我们后面要算的东西。

  核心要点： 均值回归不是预测价格方向，而是预测价差会回到均值。这是统计套利和趋势跟踪的本质区别。

2. 平稳性：你的数据「靠谱」吗？

平稳性，是统计套利的入场券。

一个时间序列如果是平稳的，意味着它的均值、方差、自协方差都不随时间变化。换句话说，它的统计性质是稳定的，我们可以用历史数据去推断未来。

我在项目中遇到过最坑的事：用非平稳数据做回测，结果跑出来年化收益50%，夏普比率3.0。我当时高兴坏了，结果一查——那序列是随机游走，根本不能用来做均值回归策略。嗯，这里要注意：非平稳数据会给你虚假的统计显著性。

怎么判断平稳性？最常用的就是ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）。

ADF检验实战代码

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import yfinance as yf

# 下载两只股票数据
tickers = ['600519.SS', '000858.SZ']  # 茅台和五粮液
data = yf.download(tickers, start='2020-01-01', end='2023-12-31')['Adj Close']

# 计算价差
spread = data['600519.SS'] - data['000858.SZ']

# ADF检验
result = adfuller(spread.dropna())
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p值: {result[1]:.4f}')
print(f'临界值:')
for key, value in result[4].items():
    print(f'  {key}: {value:.4f}')

# 判断
if result[1] < 0.05:
    print('✅ 价差序列平稳，可以进行统计套利')
else:
    print('❌ 价差不平稳，需要差分或换标的')

我的小技巧： 不要只看p值。我习惯同时看ADF统计量和1%临界值。如果统计量比1%临界值还小，那基本稳了。如果只在5%或10%水平显著，我会多留个心眼——可能样本量不够，或者结构有变化。

3. 协整性：两只股票之间的「隐形纽带」

协整性，是统计套利最核心的概念。没有之一。

两只股票各自可能都是非平稳的（比如随机游走），但它们之间存在一个线性组合，这个组合是平稳的。这个线性组合，就是我们说的价差。

我曾经犯过一个错误：用相关性去选配对。结果发现两只股票相关性高达0.95，但价差根本不回归。为什么？因为相关性只衡量线性关系的强度，而协整性衡量的是长期均衡关系。两码事。

Engle-Granger两步法

这是最经典的协整检验方法。我带你走一遍：

第一步： 用OLS回归估计协整系数。比如 y = α + βx + ε，残差ε就是价差。
第二步： 对残差做ADF检验，看是否平稳。

import statsmodels.api as sm

# 准备数据
y = data['600519.SS']
x = data['000858.SZ']
x = sm.add_constant(x)

# 第一步：OLS回归
model = sm.OLS(y, x).fit()
residuals = model.resid

# 第二步：对残差做ADF检验
result_resid = adfuller(residuals.dropna())
print(f'残差ADF p值: {result_resid[1]:.4f}')

if result_resid[1] < 0.05:
    print('✅ 两只股票存在协整关系')
    print(f'对冲比率 β = {model.params[1]:.4f}')
else:
    print('❌ 没有协整关系，换一对试试')

避坑指南： 我曾经用日线数据做协整检验，结果很漂亮。但换到小时线，协整关系就消失了。为什么？因为协整关系的时间尺度很重要。我建议：先用日线筛选，再用小时线验证。如果两个尺度都通过，那才靠谱。

4. 知识体系框架图

下面这张图，是我自己总结的统计套利数学基础框架。你看一遍，心里就有谱了。

5. 实战中的常见坑

讲完理论，我跟你聊聊实战中我踩过的坑。这些经验，比书本上值钱多了。

常见问题	我的经历	解决方案
协整关系突然失效	2020年疫情时，我持有的配对价差偏离了5个标准差，我以为会回归，结果越走越远。亏了8%。	设置硬止损，价差超过3个标准差就平仓。不要迷信回归。
ADF检验结果不稳定	同样的数据，用不同滞后阶数，p值从0.01跳到0.15。我当时懵了。	用AIC或BIC自动选择滞后阶数，不要手动设。代码里加个循环。
样本内完美，样本外崩溃	回测3年数据，夏普2.5。实盘第一周就亏了5%。	做滚动窗口检验：每半年重新估计协整系数，看是否稳定。

我的习惯： 每次做协整检验，我都会把结果存下来，画成时间序列图。如果残差在某个时间段突然「放飞自我」，那说明结构变了。这时候，我会果断放弃这个配对，换新的。

6. 总结

好了，今天的内容就到这里。

均值回归是目标，平稳性是前提，协整性是桥梁。这三者缺一不可。我见过太多人，只看了相关性就冲进去，结果亏得底裤都不剩。记住：统计套利不是简单的「买低卖高」，而是建立在严谨的数学检验之上的。

代码我已经给你了，框架图也画好了。剩下的，就是你自己去跑数据、去验证、去踩坑。嗯，踩坑是好事，踩过了就记住了。

  一句话总结： 非平稳的价格 → 协整组合 → 平稳的价差 → 均值回归交易。这就是统计套利的全部秘密。

公众号:蓝海数据掘金营，微信deep3321

📚 课程目录

统计套利的数学基础：均值回归、协整性、平稳性（ADF检验）

1. 均值回归：统计套利的灵魂

2. 平稳性：你的数据「靠谱」吗？

ADF检验实战代码

3. 协整性：两只股票之间的「隐形纽带」

Engle-Granger两步法

4. 知识体系框架图

5. 实战中的常见坑

6. 总结