第2章：统计基础回顾：均值、方差、正态分布、t分布、假设检验
各位同学，欢迎来到第二章。做量化交易，尤其是协整和价差策略，说白了就是跟一堆数字打交道。你连这些数字的脾气都摸不透，怎么指望它给你赚钱？
这一章我们回顾一下最核心的统计概念。别嫌基础，我敢打赌，很多做策略亏钱的人，就是栽在这些基础概念上。我自己刚入行那会儿，也吃过这个亏。
2.1 均值与方差：数据的“位置”和“离散度”
先聊均值。均值就是平均数，代表数据的“中心位置”。在价差交易里，均值就是那个“回归”的锚点。价差偏离均值太远，我们就认为它迟早要回来。
方差和标准差呢？它们衡量数据有多“散”。方差大，说明价格上蹿下跳；方差小，说明走势平稳。做套利时，我们当然希望价差序列的方差尽量稳定，不然你刚建仓，一个剧烈波动就把你打爆了。
核心公式：
- 均值：μ = (1/N) * Σxᵢ
- 方差：σ² = (1/N) * Σ(xᵢ - μ)²
- 标准差：σ = √σ²
我的经验： 计算价差序列的方差时，我习惯用“滚动窗口”来计算。比如用过去60天的数据算一个方差，而不是用全部历史数据。因为市场结构会变，用太久远的数据反而会失真。
2.2 正态分布：金融世界的“理想模型”
正态分布，就是那个钟形曲线。很多统计模型都假设数据服从正态分布。但说实话，金融数据很少是完美的正态分布。它往往有“肥尾”现象——极端行情发生的概率比正态分布预测的要高得多。
为什么会这样？因为市场是由人组成的，而人在恐慌和贪婪时会做出极端行为。08年金融危机、2020年疫情暴跌，都是典型的肥尾事件。
避坑指南： 我曾经在回测时，直接用正态分布假设去计算价差突破的概率，结果实盘时连续被打脸。后来我改用t分布来建模，效果好了很多。记住，金融数据，宁可用肥尾分布，也别轻信正态分布。
2.3 t分布：更适合“小样本”和“肥尾”
t分布长得像正态分布，但尾巴更厚。它有一个参数叫“自由度”。自由度越小，尾巴越厚；自由度越大，就越接近正态分布。
在量化交易里，我们经常用t分布来做两件事：
- 小样本推断： 比如你只有30个交易日的价差数据，想判断均值是否显著偏离零，用t分布比正态分布更靠谱。
- 建模肥尾： 用t分布拟合收益率或价差序列，能更好地捕捉极端风险。
我个人习惯，在做协整检验之前，先用t分布拟合一下价差序列，看看它的尾部特征。如果自由度小于10，说明肥尾很严重，这时候做交易要格外小心止损。
2.4 假设检验：用数据说话
假设检验，说白了就是“用数据来验证你的猜想”。在价差交易里，我们最常用的假设检验是：
- 均值是否为零： 价差序列的均值是否显著偏离0？如果显著偏离，说明价差有趋势，不适合做均值回归策略。
- 序列是否平稳： 这是协整检验的核心。我们后面会详细讲。
假设检验的步骤很简单：
- 提出原假设H0（比如“价差均值为0”）和备择假设H1（“价差均值不为0”）
- 计算检验统计量（比如t统计量）
- 查p值。如果p值小于显著性水平（通常取0.05），就拒绝H0。
关键点： p值不是“H0为真的概率”。它是在H0为真的前提下，观察到当前数据或更极端数据的概率。p值小，说明数据跟H0不太兼容，所以我们拒绝H0。
2.5 知识体系框架
下面这张图，是我自己梳理的本章知识脉络。你可以把它当作一个思维导图来看。
2.6 实战代码：快速检验价差均值是否为零
光说不练假把式。我们写一小段Python代码，看看怎么用t检验来判断价差均值是否显著偏离零。
import numpy as np
from scipy import stats
# 模拟一组价差数据（假设均值为0.5）
np.random.seed(42)
spread = np.random.normal(loc=0.5, scale=1.0, size=100)
# 单样本t检验：检验均值是否等于0
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(spread, 0)
print(f"t统计量: {t_stat:.3f}")
print(f"p值: {p_value:.4f}")
if p_value < 0.05:
print("结论：拒绝原假设，价差均值显著不为0")
else:
print("结论：无法拒绝原假设，价差均值可能为0")
我的习惯： 在实际项目中，我不会只看p值。我还会看t统计量的绝对值。如果t统计量绝对值大于2，即使p值略高于0.05，我也会警惕。因为样本量小的时候，p值可能不太可靠。
2.7 本章小结
这一章我们回顾了均值、方差、正态分布、t分布和假设检验。这些是后续做协整分析和价差交易的数学基础。你想想看，如果连价差均值是否为零都判断不准，那你的交易信号就是瞎蒙。
下一章我们会进入正题，开始讲协整关系的定义和检验方法。嗯，到时候你会看到，这些统计基础会反复出现。