4. 协整理论详解：平稳性检验（ADF检验）、Engle-Granger两步法、Johansen检验

各位同学，欢迎来到第四章。这一章我们聊聊协整理论。

说实话，协整是我个人在统计套利中最喜欢用的工具之一。为什么？因为它能帮我们找到那些表面上随机游走、实际上却“手拉手”走在一起的资产对。你想想看，两只股票各自都在乱跑，但它们的价差却始终围绕一个均值波动——这不就是套利机会吗？

好，我们一步步来拆解。先讲平稳性，再讲两步法，最后讲多变量场景下的Johansen检验。

4.1 平稳性检验：ADF检验

平稳性，说白了就是一个时间序列的统计性质不随时间改变。均值不变、方差不变、自相关结构也不变。嗯，这里要注意：金融价格序列几乎都不是平稳的，但它们的差分（收益率）往往是平稳的。

为什么要先讲平稳性？因为协整的前提是：两个序列本身是非平稳的，但它们的线性组合是平稳的。所以第一步，你得先确认每个序列是不是非平稳的。

ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是最常用的单位根检验方法。它的原假设是“序列存在单位根”，也就是非平稳。p值小于0.05，我们就拒绝原假设，认为序列平稳。

核心要点： 做协整前，先确认两个序列都是I(1)（一阶单整）。如果一个I(1)、一个I(2)，那它们不可能协整。

我在项目中遇到过这样的情况：两个看起来高度相关的股票，ADF检验一做，一个是一阶单整，另一个是二阶单整。嗯，那就别费劲了，它们不可能有长期均衡关系。

下面是一个Python实现ADF检验的示例：

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 模拟两个非平稳序列
np.random.seed(42)
n = 500
epsilon = np.random.randn(n)
x = np.cumsum(epsilon)  # 随机游走，I(1)
y = 0.8 * x + np.random.randn(n) * 0.5  # 与x协整

# ADF检验
def adf_test(series, name=''):
    result = adfuller(series, autolag='AIC')
    print(f'{name} ADF统计量: {result[0]:.4f}')
    print(f'p值: {result[1]:.4f}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    if result[1] < 0.05:
        print(f'结论: {name} 平稳')
    else:
        print(f'结论: {name} 非平稳')
    print('---')

adf_test(x, 'x')
adf_test(y, 'y')

输出结果会告诉你，x和y都是非平稳的。但它们的残差呢？我们后面再验证。

避坑指南： 我曾经因为没检查滞后阶数选择，导致ADF检验结果不稳定。建议用AIC或BIC自动选择滞后阶数，别手动拍脑袋。

4.2 Engle-Granger两步法

这是最经典的协整检验方法。说白了就是两步走：

  1. 第一步： 用OLS回归估计长期均衡关系。比如 y = α + βx + ε，得到残差序列。
  2. 第二步： 对残差做ADF检验。如果残差平稳，说明x和y协整。

你想想看，如果x和y真的存在长期均衡关系，那么它们的价差（残差）应该围绕0波动，不会越走越远。这就是协整的本质。

下面是一个完整的Engle-Granger两步法实现：

import statsmodels.api as sm

# 第一步：OLS回归
X = sm.add_constant(x)
model = sm.OLS(y, X).fit()
residuals = model.resid

print(f'回归系数: alpha={model.params[0]:.4f}, beta={model.params[1]:.4f}')

# 第二步：对残差做ADF检验
adf_test(residuals, '残差')

如果残差的ADF检验p值小于0.05，恭喜你，找到了一个协整对。这时候就可以考虑用价差的均值回归特性做套利了。

注意： Engle-Granger两步法有个局限——它只能检验一对变量之间的协整关系。而且回归方向（y对x还是x对y）会影响结果。我个人习惯两个方向都试一下，取残差更平稳的那个。

我记得有一次做商品期货的跨品种套利，用两步法检验螺纹钢和热卷的协整关系。第一次回归残差的p值是0.06，差一点。换了个方向重新做，p值变成0.03，通过了。所以别偷懒，两个方向都试试。

4.3 Johansen检验

当你有多个资产时（比如3只股票、5只期货），Engle-Granger两步法就不够用了。这时候需要Johansen检验。

Johansen检验的核心思想是：基于向量自回归模型（VAR），通过特征值分解来判断协整关系的个数。它给出两个统计量：迹统计量和最大特征值统计量。

说白了，Johansen检验能告诉你：这组资产中，存在几个协整关系？是1个、2个，还是根本没有？

下面是一个Python实现：

from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen

# 模拟三个协整序列
np.random.seed(123)
n = 500
z1 = np.cumsum(np.random.randn(n))  # I(1)
z2 = 0.6 * z1 + np.random.randn(n) * 0.3  # 与z1协整
z3 = 0.4 * z1 + 0.3 * z2 + np.random.randn(n) * 0.2  # 与z1、z2协整

data = np.column_stack([z1, z2, z3])

# Johansen检验
johansen_result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)

print('迹统计量:', johansen_result.lr1)
print('迹统计量临界值(95%):', johansen_result.cvt[:, 1])
print('最大特征值统计量:', johansen_result.lr2)
print('最大特征值临界值(95%):', johansen_result.cvm[:, 1])

# 判断协整秩
r = 0
for i in range(len(johansen_result.lr1)):
    if johansen_result.lr1[i] > johansen_result.cvt[i, 1]:
        r += 1
print(f'协整秩: {r}')

输出结果会告诉你协整秩是多少。比如协整秩为2，意味着这3个资产之间存在2个独立的协整关系。

实战经验： Johansen检验对滞后阶数敏感。我一般先用AIC选VAR的滞后阶数，再传给Johansen检验。别用默认值，容易出错。

为什么会这样？因为Johansen检验本质上是基于VAR模型的，滞后阶数选错了，残差的自相关没处理好，检验结果就不可靠。嗯，这里要特别注意。

4.4 三种方法的对比

方法 适用场景 优点 缺点
ADF检验 单个序列的平稳性判断 简单、快速、成熟 只能判断是否平稳，不能直接检验协整
Engle-Granger两步法 两个资产之间的协整检验 直观、容易理解、计算量小 只能处理一对变量；回归方向影响结果
Johansen检验 多个资产之间的协整检验 能同时检验多个协整关系；基于VAR更稳健 计算复杂；对滞后阶数敏感

我个人习惯是：做配对交易时用Engle-Granger两步法，做多资产组合时用Johansen检验。ADF检验则是每个项目开始前的必备热身。

4.5 知识体系图

下面这张图总结了本章的核心逻辑：

协整理论核心逻辑 第一步：平稳性检验 ADF检验 是否I(1)？ 一阶单整 是 否 → 停止 第二步：选择方法 看资产数量 2个资产 多个资产 Engle-Granger两步法 OLS回归 → 残差ADF检验 Johansen检验 VAR模型 → 特征值分解 结果：确认协整关系 残差平稳 → 存在长期均衡 → 可做统计套利 注：所有资产必须同阶单整，通常为I(1)

这张图把整个流程串起来了。从ADF检验开始，确认资产都是I(1)，然后根据资产数量选择方法，最后确认协整关系。每一步都有坑，但每一步也都有对应的解决方案。

我的建议： 刚开始做协整检验时，先用Engle-Granger两步法练手。等熟悉了残差分析、理解了均值回归的逻辑，再上Johansen检验。别一上来就搞复杂的，容易迷失在统计量里。

好了，这一章就到这里。协整理论是统计套利的基石，把这块啃下来，后面的策略构建就水到渠成了。

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