4. 价差计算与统计：价差序列计算、均值回归检验、协整检验、半衰期计算、布林带与Z-score

各位同学，欢迎来到跨交易所套利策略的核心环节。前面我们聊了数据清洗和同步，那都是准备工作。真正的硬菜，从价差计算开始。

说白了，套利交易赚的就是价差回归的钱。你想想看，同一个东西在两个地方卖不同价，你低价买、高价卖，差价就是利润。但问题来了——这个价差是随机的，还是有规律的？它会不会越走越远，让你爆仓？

嗯，这就是本章要解决的核心问题。我会带你一步步走完价差计算的完整流程，包括统计检验、参数估计，以及最终如何用布林带和Z-score来生成交易信号。

4.1 价差序列计算

价差计算听起来简单，就是A价格减B价格嘛。但实际项目中，我踩过不少坑。

最常见的价差形式有三种：

• 简单价差：P₁ - P₂。适用于价格水平相近的品种，比如同一只股票在不同交易所的现货价格。
• 对数价差：ln(P₁) - ln(P₂)。适用于价格差异较大的品种，对数变换能让序列更平稳。我个人习惯用这个，尤其是在做加密货币套利时。
• 比率价差：P₁ / P₂。适用于价格存在倍数关系的品种，比如股指期货和ETF之间。

这里有个关键点——协整系数。如果两个品种的价格不是1:1的关系，比如螺纹钢和热卷，它们的价差公式应该是 P₁ - β × P₂。这个β怎么算？用最小二乘法（OLS）回归。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# 假设df包含两列：'asset_a' 和 'asset_b'
def calc_spread(df, method='simple'):
    if method == 'simple':
        spread = df['asset_a'] - df['asset_b']
        beta = 1.0
    elif method == 'log':
        spread = np.log(df['asset_a']) - np.log(df['asset_b'])
        beta = 1.0
    elif method == 'regression':
        # OLS回归求协整系数
        X = sm.add_constant(df['asset_b'])
        model = sm.OLS(df['asset_a'], X).fit()
        beta = model.params['asset_b']
        spread = df['asset_a'] - beta * df['asset_b']
    return spread, beta

4.2 均值回归检验

价差算出来了，然后呢？你得先确认它是不是会回归。如果价差是个随机游走，那做套利就是送钱给市场。

均值回归检验，说白了就是看价差序列是否平稳。平稳的序列会围绕一个均值上下波动，不会越走越远。

我常用的方法有两个：

• ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）：最经典的单位根检验。p值小于0.05，说明序列平稳，存在均值回归特性。
• PP检验（Phillips-Perron Test）：对序列自相关和异方差更稳健。我一般两个都跑，取交集。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, coint

def check_mean_reversion(spread):
    # ADF检验
    adf_result = adfuller(spread, autolag='AIC')
    adf_stat = adf_result[0]
    adf_pvalue = adf_result[1]
    
    # 判断是否平稳
    is_stationary = adf_pvalue < 0.05
    
    return {
        'adf_statistic': adf_stat,
        'adf_pvalue': adf_pvalue,
        'is_stationary': is_stationary
    }

4.3 协整检验

均值回归检验是针对价差本身的。但有时候，两个品种单独看都不平稳，它们的线性组合却可能是平稳的。这就是协整。

协整检验，说白了就是验证两个非平稳序列之间是否存在长期均衡关系。如果存在，那价差就会围绕均衡值波动，套利就有基础。

最常用的方法是Engle-Granger两步法：

1. 第一步：用OLS回归估计协整系数β
2. 第二步：对残差（也就是价差）做ADF检验

不过，statsmodels直接提供了协整检验函数，一步到位：

def check_cointegration(price_a, price_b):
    # 协整检验
    coint_result = coint(price_a, price_b)
    coint_t = coint_result[0]
    coint_pvalue = coint_result[1]
    crit_values = coint_result[2]
    
    is_cointegrated = coint_pvalue < 0.05
    
    return {
        'coint_statistic': coint_t,
        'coint_pvalue': coint_pvalue,
        'critical_values': crit_values,
        'is_cointegrated': is_cointegrated
    }

4.4 半衰期计算

半衰期，这个概念来自物理，但在量化里指的是价差偏离均值后，回归到均值一半所需的时间。说白了，就是告诉你——这个套利机会要等多久才能赚钱。

半衰期越短，套利频率越高，资金利用率越好。半衰期太长，你可能等不起，或者中间被波动震出局。

计算半衰期的方法基于均值回归过程：

• 对价差序列做一阶自回归：ΔSₜ = α + θ × Sₜ₋₁ + εₜ
• 半衰期 = ln(2) / |θ|

def calc_half_life(spread):
    # 构建滞后序列
    spread_lag = spread.shift(1).dropna()
    spread_diff = spread.diff().dropna()
    
    # 对齐数据
    y = spread_diff.values
    x = spread_lag.values
    
    # OLS回归
    x = sm.add_constant(x)
    model = sm.OLS(y, x).fit()
    theta = model.params[1]
    
    # 计算半衰期
    half_life = -np.log(2) / theta if theta < 0 else np.inf
    
    return half_life

4.5 布林带与Z-score

好了，前面做了那么多检验，终于到了实战环节——生成交易信号。

布林带和Z-score，本质上都是标准化价差，告诉你当前价差处于什么位置。

布林带：以移动平均线为中心，上下各加减k倍标准差。当价差触及上轨时做空价差，触及下轨时做多价差。

Z-score：直接计算当前价差偏离均值多少个标准差。公式很简单：Z = (当前价差 - 均值) / 标准差。

我个人更偏爱Z-score，因为它更直观，而且可以灵活设置阈值。比如Z-score超过2就开仓，回到0就平仓。

def calc_bollinger_zscore(spread, window=20, num_std=2):
    # 计算移动均值和标准差
    rolling_mean = spread.rolling(window=window).mean()
    rolling_std = spread.rolling(window=window).std()
    
    # 布林带
    upper_band = rolling_mean + num_std * rolling_std
    lower_band = rolling_mean - num_std * rolling_std
    
    # Z-score
    zscore = (spread - rolling_mean) / rolling_std
    
    return {
        'upper_band': upper_band,
        'lower_band': lower_band,
        'zscore': zscore,
        'rolling_mean': rolling_mean
    }

4.6 知识体系总览

为了让你更直观地理解本章的知识结构，我画了一张流程图：

这张图把整个流程串起来了。从价格输入开始，经过价差计算、统计检验、参数估计，最后到信号生成。每一步都有对应的Python代码实现，你可以直接拿去用。

嗯，本章的内容就到这里。记住，价差计算只是工具，真正的核心是理解背后的统计逻辑。只有通过了均值回归检验和协整检验，你的套利策略才有理论支撑。否则，再漂亮的布林带也只是花架子。

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