第二讲：恒定乘积公式 x·y = k 的深度拆解

各位同学，今天我们来啃一块硬骨头——恒定乘积公式。说实话，这个公式看起来就一行字：x * y = k，但里面藏着的门道，够我们聊一整节课。

我记得刚入行DeFi时，觉得这公式太简单了，不就是反比例函数吗？直到我在一个项目中亲手写AMM合约，才发现——嗯，纸上得来终觉浅。滑点怎么算？深度怎么衡量？这些全藏在这个公式里。

一、公式的数学推导：从交易到等式

先看最基础的定义。一个流动性池里，有两种代币：Token A 和 Token B。假设当前池子里有 x 个 A，y 个 B。那么恒定乘积公式说：

x * y = k

k 是一个常数。只要没有人添加或移除流动性，k 就不变。

现在，我用 Δx 个 A 代币换出 Δy 个 B 代币。交易完成后，池子里变成 (x + Δx) 个 A 和 (y - Δy) 个 B。公式依然成立：

(x + Δx) * (y - Δy) = k

把两个等式联立：

x * y = (x + Δx) * (y - Δy)

展开右边：

x * y = x * y - x * Δy + Δx * y - Δx * Δy

两边消去 x * y：

0 = - x * Δy + Δx * y - Δx * Δy

移项：

x * Δy = Δx * y - Δx * Δy

提取 Δy：

Δy * (x + Δx) = Δx * y

最终得到：

Δy = (Δx * y) / (x + Δx)

这就是你拿 Δx 个 A 代币，能换出多少 B 代币的精确公式。

二、曲线特性分析：为什么是双曲线？

把公式 x * y = k 画在坐标系里，是一条双曲线。这条曲线有几个关键特性：

• 永远不碰坐标轴：x 和 y 都不能为 0。一旦某个代币被换光，池子就崩了。我在审计一个项目时，就发现有人利用闪电贷试图把池子掏空——幸好合约有保护机制。
• 价格是曲线的斜率：当前价格 P = y / x。为什么？因为瞬时价格就是 dy/dx = -y/x（负号表示方向）。
• 越靠近原点，滑点越大：当池子深度变浅时，同样的交易量会造成更大的价格冲击。

我个人习惯把这条曲线想象成一根橡皮筋。你往一个方向拉得越狠，另一端的反弹力就越大。这就是AMM的自动定价机制——不需要订单簿，全靠数学。

三、滑点与深度：一对冤家

滑点，说白了就是你实际成交的价格，和你预期价格之间的差距。为什么会这样？因为你的交易改变了池子的比例。

举个例子：

假设一个 ETH/USDC 池子，有 100 ETH 和 300,000 USDC。当前价格是 3,000 USDC/ETH。

你想买 1 个 ETH。用公式算一下：

Δy = (Δx * y) / (x + Δx)
Δy = (1 * 300,000) / (100 + 1) = 300,000 / 101 ≈ 2,970.3 USDC

你实际支付了 2,970.3 USDC，而不是预期的 3,000 USDC。滑点就是 (3,000 - 2,970.3) / 3,000 ≈ 0.99%。

如果你买 10 个 ETH 呢？

Δy = (10 * 300,000) / (100 + 10) = 3,000,000 / 110 ≈ 27,272.7 USDC

预期价格是 30,000 USDC，实际支付 27,272.7 USDC。滑点变成了 9.09%。

深度和滑点的关系，可以用一个表格直观展示：

池子深度（ETH）	交易量（ETH）	滑点
100	1	0.99%
100	10	9.09%
1,000	1	0.10%
1,000	10	0.99%
10,000	1	0.01%

看到了吗？同样的交易量，池子越深，滑点越小。这就是为什么大池子更受大额交易者欢迎。

四、用 SVG 画一张知识结构图

下面这张图，把恒定乘积公式的核心逻辑串起来了：

五、实战中的注意事项

讲到这里，我想分享几个实际开发中踩过的坑：

• 精度问题：Solidity 没有浮点数，所有计算都要用定点数。我习惯用 PRBMath 库来处理乘除，避免溢出。
• k 值更新：每次交易后，k 值理论上不变。但如果你加了手续费，k 值会缓慢增长——这就是流动性提供者的收益来源。
• 大额交易预警：当交易量超过池子深度的 10% 时，滑点会急剧上升。我个人建议前端直接提示用户「这笔交易滑点超过 5%，是否继续？」

好了，这一讲的内容就到这里。恒定乘积公式虽然简单，但它是整个 AMM 世界的基石。你把它吃透了，后面学加权乘积、动态费率都会轻松很多。

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