一、经典信号生成方法：正弦波、方波、三角波与噪声

各位同学，欢迎来到《信号生成与机器学习融合实战》的第一章。

信号生成，说白了就是给机器“喂”数据。你想想看，没有数据，再牛的模型也是白搭。我刚开始做信号处理那会儿，总觉得生成几个波形很简单，不就是调几个参数嘛。结果呢？有一次项目里，就因为噪声类型选错了，模型训练出来完全没法用。嗯，从那以后，我对信号生成这件事就再也不敢马虎了。

1.1 正弦波与余弦波：最基础的“振动”

正弦波和余弦波，是所有周期信号的“祖宗”。它们描述的是最简单的振动——比如钟摆来回摆动，或者交流电的电压变化。

数学上，一个正弦波可以写成：

y(t) = A * sin(2 * π * f * t + φ)

其中：

• A 是振幅，决定波的高度
• f 是频率，决定波动的快慢
• φ 是相位，决定波在时间轴上的起始位置

余弦波其实就是相位偏移了 π/2 的正弦波。我个人习惯用正弦波作为基准，因为很多数学推导都是从它开始的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
fs = 1000          # 采样率 1000 Hz
f = 5              # 信号频率 5 Hz
t = np.arange(0, 1, 1/fs)  # 时间向量
A = 1.0            # 振幅
phi = 0            # 相位

# 生成正弦波
y_sin = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)
y_cos = A * np.cos(2 * np.pi * f * t + phi)

plt.plot(t, y_sin, label='正弦波')
plt.plot(t, y_cos, label='余弦波')
plt.legend()
plt.show()

1.2 方波与三角波：从“平滑”到“棱角”

方波和三角波，是正弦波的“变种”。方波在高低电平之间瞬间切换，像数字电路里的时钟信号。三角波则像锯齿，但上升和下降是对称的。

生成方波，我常用两种方法：

1. 傅里叶级数法： 用无数个正弦波叠加。理论上，叠加的谐波越多，波形越接近理想方波。
2. 符号函数法： 直接判断正弦波的正负，简单粗暴。

# 用符号函数生成方波
y_square = np.sign(np.sin(2 * np.pi * f * t))

# 三角波：对锯齿波取绝对值
y_sawtooth = 2 * (t * f - np.floor(t * f + 0.5))
y_triangle = 2 * np.abs(y_sawtooth) - 1

plt.plot(t, y_square, label='方波')
plt.plot(t, y_triangle, label='三角波')
plt.legend()
plt.show()

1.3 高斯白噪声与有色噪声：给信号加点“料”

真实世界里的信号，没有一个是干净的。噪声无处不在——传感器热噪声、量化误差、环境干扰……所以，学会生成噪声，是模拟真实场景的关键。

1.3.1 高斯白噪声

高斯白噪声，说白了就是每个时刻的噪声值服从正态分布，而且不同时刻之间互不相关。它的功率谱密度是平的——就像白光包含所有颜色一样。

# 生成高斯白噪声
mu = 0          # 均值
sigma = 0.1     # 标准差
noise_white = np.random.normal(mu, sigma, len(t))

plt.plot(t, noise_white)
plt.title('高斯白噪声')
plt.show()

1.3.2 有色噪声

有色噪声的功率谱不是平的。常见的有：

• 粉红噪声（1/f 噪声）： 低频能量高，高频能量低。自然界里很常见，比如海浪声、心跳声。
• 布朗噪声（随机游走）： 功率谱随频率的平方下降。听起来像沉闷的轰鸣声。
• 蓝噪声： 高频能量高，低频能量低。听起来尖锐。

生成有色噪声，我一般用“滤波法”：先产生白噪声，再用一个滤波器改变它的频谱形状。

from scipy import signal

# 生成粉红噪声：对白噪声进行低通滤波
b, a = signal.butter(2, 0.1, 'low')  # 二阶巴特沃斯低通滤波器
noise_pink = signal.filtfilt(b, a, noise_white)

plt.plot(t, noise_pink)
plt.title('粉红噪声（1/f 噪声）')
plt.show()

1.4 知识体系总览

下面这张图，是我自己总结的信号生成知识框架。你可以把它当作一张“地图”，随时回来查阅。

1.5 本章小结

这一章，我们走过了信号生成的基础：

• 正弦波和余弦波——最纯粹的振动
• 方波和三角波——从平滑到棱角的变形
• 高斯白噪声和有色噪声——模拟真实世界的“杂质”

记住，生成信号只是第一步。后面我们会把这些信号喂给机器学习模型，看看它们能学到什么。嗯，那才是真正有意思的地方。