2. 补偿算法数学基础：线性回归、多项式拟合、最小二乘法、插值法

各位同学，欢迎来到压力传感器温度补偿的核心环节。

说实话，传感器原始数据就像个“刺头”——温度一变，它就乱跳。你直接拿它去算压力，误差能大到让你怀疑人生。所以，我们需要一套数学工具来“驯服”它。

这一章，我就带你把这些工具的原理摸透。别怕数学，我会用项目里的例子给你讲明白。

2.1 线性回归：最简单的补偿模型

线性回归，说白了就是找一条直线，让它尽可能穿过所有数据点。为什么先讲它？因为很多传感器的温度特性，在窄温度范围内就是线性的。

我记得有一次做一款工业压力变送器，-10℃到50℃范围内，零位漂移几乎就是一条直线。这时候用线性回归，又快又准。

公式长这样：

a = (n∑xy - ∑x∑y) / (n∑x² - (∑x)²)
b = (∑y - a∑x) / n

嗯，看着有点晕？我当年也晕。但你想想看，在代码里实现就几行的事：

// 线性回归计算斜率a和截距b
float linear_regression(float *x, float *y, int n) {
    float sum_x = 0, sum_y = 0, sum_xy = 0, sum_x2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum_x += x[i];
        sum_y += y[i];
        sum_xy += x[i] * y[i];
        sum_x2 += x[i] * x[i];
    }
    float a = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - sum_x * sum_x);
    float b = (sum_y - a * sum_x) / n;
    return a; // 返回斜率，截距b可以单独用
}

2.2 多项式拟合：对付非线性漂移

但现实往往不完美。温度范围一宽，比如-40℃到85℃，零位和灵敏度漂移就变成曲线了。这时候线性回归就不够用了。

怎么办？用多项式拟合。说白了，就是用一条曲线去贴合数据点。

二次多项式长这样：

y = a₀ + a₁x + a₂x²

三次多项式：

y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³

我个人的习惯是：能用二次就别用三次。为什么？因为次数越高，计算量越大，而且容易“过拟合”——就是曲线在数据点上抖得厉害，中间反而跑偏了。

多项式系数的计算，一般用最小二乘法来解。我们接着看。

2.3 最小二乘法：拟合的“裁判员”

最小二乘法不是一种具体的拟合方法，它是所有拟合方法的“裁判员”。它的判据很简单：让所有数据点的误差平方和最小。

为什么是平方？不是绝对值？

嗯，这里有个小门道。平方放大了大误差的惩罚力度，让拟合曲线更“照顾”那些偏离大的点。绝对值的话，大误差和小误差的惩罚差不多，拟合效果反而不好。

对于多项式拟合，最小二乘法会形成一个方程组：

数据点数	拟合阶数	方程组规模
10	2次	3个方程
20	3次	4个方程
50	4次	5个方程

你看，数据点再多，方程组规模只跟阶数有关。这就是最小二乘法的魅力——用少量参数描述大量数据。

2.4 插值法：查表补偿的利器

有时候，我们不想算复杂的多项式。尤其是MCU资源紧张的时候，多项式计算里的浮点乘法挺费时间的。

这时候，插值法就派上用场了。说白了就是：先测一批温度点的补偿值，存成表格。实际工作时，根据当前温度，在表格里“插”出对应的补偿值。

最常用的是线性插值：

y = y₁ + (x - x₁) * (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

举个例子，温度在25℃时补偿值是0.5，在50℃时补偿值是1.2。那37.5℃的补偿值就是：

y = 0.5 + (37.5 - 25) * (1.2 - 0.5) / (50 - 25) = 0.85

插值法最大的好处是：不需要拟合，不需要计算系数。你只需要把标定数据存好，运行时查表就行。我在一个低功耗项目中就这么干，省掉了浮点运算单元，成本降了不少。

2.5 知识体系总览

说了这么多，我把这四种方法的关系画了张图，方便你理解：

这张图把四种方法的关系和适用场景都串起来了。你写代码前，先对着这张图想想：我的温度范围有多宽？MCU算力够不够？精度要求多高？想清楚了再选方法。

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