2. 标定基础理论：相机内参、外参、畸变模型（径向/切向）详解
做深度相机标定这些年，我最大的感触就是——理论不扎实，后面全是坑。今天咱们就把相机标定的几个核心概念掰开揉碎讲清楚。你想想看，一台相机放在产线上，它怎么知道拍到的物体在真实世界里长什么样？这背后就是内参、外参和畸变模型在起作用。
2.1 相机内参：相机自己的“基因密码”
内参说白了，就是相机本身的固有属性。它描述了三维空间点如何投影到二维图像平面。我习惯用一个简单的矩阵来表示：
K = [fx 0 cx]
[ 0 fy cy]
[ 0 0 1]这里每个参数都有物理意义：
- fx, fy：焦距参数，单位是像素。它们决定了物体在图像中放大的倍数。
- cx, cy：主点坐标，也就是光轴与图像平面的交点。理想情况下在图像中心，但实际总有偏差。
内参矩阵还有一个重要特性——上三角矩阵。这意味着它只包含5个自由度（fx, fy, cx, cy, 以及一个倾斜参数s，但现代相机s通常为0）。
2.2 相机外参：相机在空间中的“位置和姿态”
外参解决的是另一个问题：相机坐标系和世界坐标系之间怎么转换？
外参由两部分组成：
- 旋转矩阵 R（3×3）：描述相机的朝向
- 平移向量 t（3×1）：描述相机的位置
合在一起，就是一个4×4的齐次变换矩阵：
[R | t]
[0 | 1]我个人习惯把外参理解为“相机在真实世界里的身份证”。同一个场景，换个角度拍，外参就变了。但内参不会变——除非你动了镜头或换了相机。
2.3 畸变模型：为什么直线会变弯？
你想想看，理想情况下相机应该遵循小孔成像模型。但实际镜头都有光学缺陷，导致图像变形。这就是畸变。我把它分为两类：
2.3.1 径向畸变
径向畸变是最常见也最明显的畸变。它来自镜头本身的曲面形状。说白了，就是光线经过透镜边缘时弯曲得比中心厉害。
数学上，我们用三个参数来描述：k1, k2, k3。校正公式如下：
x_corrected = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)其中 r 是像素点到图像中心的距离。你会发现，离中心越远，畸变越严重。
2.3.2 切向畸变
切向畸变就没那么直观了。它是因为镜头和成像平面不平行造成的。说白了，就是镜头装歪了。
切向畸变用两个参数描述：p1, p2。校正公式：
x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_corrected = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]嗯，公式看着有点复杂。但实际项目中，切向畸变通常比径向畸变小一个数量级。我一般先看径向畸变，如果效果不满意再考虑切向。
2.4 知识体系总览
下面这张图，是我自己总结的标定理论核心逻辑。你看一遍就能理清关系：
2.5 畸变校正的完整流程
在实际产线中，我们不会手动去算这些公式。但理解流程很重要。我一般按这个步骤走：
- 采集标定板图像：至少20张，覆盖不同角度和距离
- 提取角点：找到标定板上棋盘格或圆点的精确位置
- 求解内参和外参：用最小二乘法拟合
- 计算畸变系数：基于重投影误差优化
- 应用校正：生成去畸变后的图像
- 标定板必须平整，我见过用亚克力板代替陶瓷板的，结果标定误差大了3倍
- 光照要均匀，避免反光点干扰角点提取
- 标定完成后一定要做验证——拍一张已知尺寸的物体，看测量值是否准确
2.6 一个常见的误解
很多人以为标定一次就一劳永逸了。其实不然。我遇到过的情况：
- 镜头松动后，内参变了
- 温度变化导致镜头热胀冷缩，畸变参数漂移
- 产线振动让相机位置偏移，外参需要重新标
所以，定期复标是产线运维的必修课。我个人建议：量产前做一次完整标定，之后每周做一次快速验证。
好了，这一章的内容就到这里。内参、外参、畸变模型这三个概念，是后续所有标定操作的基础。你把这些吃透了，后面讲张正友标定法、立体标定、手眼标定的时候，就会轻松很多。