第二章：数制与编码——二进制、八进制、十六进制及其转换，原码、反码、补码，格雷码与BCD码
各位同学，欢迎来到第二章。这一章的内容，说白了就是数字电路的“语言基础”。你想想看，我们平时用的十进制，在FPGA的世界里根本行不通。FPGA只认0和1，也就是二进制。所以，搞懂数制转换和编码，是咱们入行的第一道门槛。
我个人习惯，在开始讲新项目前，一定会先确认数据格式。是二进制？还是BCD码？搞错了，整个逻辑都得重来。今天我们就把这些基础打牢。
2.1 二进制、八进制、十六进制
先说说为什么要有这么多进制。二进制是机器语言，但写起来太长了。比如一个8位二进制数“10110010”，你看着不晕吗？所以工程师们发明了八进制和十六进制，作为二进制的“缩写”。
二进制：基数为2，只有0和1。逢二进一。
八进制：基数为8，数字0~7。逢八进一。一个八进制位正好对应3个二进制位。
十六进制：基数为16，数字0~9和A~F（A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15）。逢十六进一。一个十六进制位对应4个二进制位。
我在项目中遇到过，用十六进制写寄存器地址，比二进制方便太多了。比如地址0x3F，一看就知道是二进制的0011 1111，省事。
2.2 进制转换方法
转换其实不难，记住两个方向：
- 其他进制转十进制：按权展开相加。比如二进制1011 = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1=11。
- 十进制转其他进制：除基取余法。比如十进制13转二进制：13÷2=6余1，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1，从下往上读余数：1101。
嗯，这里要注意：二进制转八进制，从右向左每3位一组，不够补0。二进制转十六进制，每4位一组。反过来也一样。
快速记忆口诀：
二进制转八进制，三位一组要记牢；
二进制转十六进制，四位一组别混淆；
十进制转二进制，除二取余倒着读。
2.3 原码、反码、补码
这部分是很多初学者的噩梦。但说白了，就是计算机怎么表示正数和负数的问题。
原码：最高位是符号位（0正1负），其余位是数值的绝对值。比如+3的原码是0011，-3的原码是1011。
反码：正数的反码等于原码；负数的反码是符号位不变，数值位按位取反。比如-3的反码是1100。
补码：正数的补码等于原码；负数的补码是反码加1。比如-3的补码是1101。
为什么要有补码？因为CPU做减法太麻烦，用补码可以把减法变成加法。比如3 + (-3) = 0，用补码算：0011 + 1101 = 10000，丢掉最高位的进位，就是0000，完美。
避坑指南：我曾经在写一个状态机时，把负数直接当原码用了，结果比较器死活不对。后来发现，FPGA里的有符号数默认是补码形式。所以，写代码时一定要搞清楚数据是有符号还是无符号。
2.4 格雷码
格雷码是一种循环二进制码，特点是相邻两个数之间只有一位不同。这个特性在异步时钟域传输中特别有用。
比如二进制：000→001→010→011，从001到010变了两位。而格雷码：000→001→011→010，每次只变一位。
我在项目中用过格雷码做FIFO的读写指针同步，避免了多比特信号跨时钟域时的亚稳态问题。嗯，这个后面讲跨时钟域时会细说。
二进制转格雷码：最高位不变，其余位是当前位与上一位的异或。比如二进制1011，格雷码就是1110。
格雷码转二进制：最高位不变，其余位是当前格雷码位与上一位二进制位的异或。
2.5 BCD码
BCD码（Binary-Coded Decimal）是用4位二进制数表示1位十进制数。比如十进制25，BCD码就是0010 0101。
BCD码的好处是方便人机交互，比如数码管显示、按键输入。但缺点是浪费比特位，因为4位二进制本来可以表示0~15，但BCD只用到0~9。
个人经验：我建议在做数字时钟或计数器时，优先用BCD码。因为显示的时候不需要再做二进制到十进制的转换，省一个译码模块。但如果是做大量运算，比如滤波算法，还是用纯二进制更高效。
2.6 知识体系结构图
下面这张图，是我自己总结的数制与编码的知识脉络。你把它记在脑子里，后面学什么都不会乱。
2.7 实战小练习
光说不练假把式。给你留几个小题目，自己动手算一算：
- 将十进制数 47 转换为二进制、八进制、十六进制。
- 写出 -15 的8位原码、反码、补码。
- 将二进制 11010110 转换为格雷码。
- 将十进制数 89 用BCD码表示。
答案我就不写了，你自己算完对照一下。嗯，这里提醒一句：补码的符号位扩展要小心，8位补码扩展到16位，高位全部补符号位，不是补0。
好了，这一章就到这里。数制与编码是数字电路的基石，你把它吃透了，后面学组合逻辑、时序逻辑都会轻松很多。
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