一、相机内参标定原理：从针孔到畸变

大家好，我是老张。做传感器标定这行有十几年了。今天咱们聊聊相机内参标定。

说实话，很多人一上来就调算法、跑代码，结果标出来的参数根本不能用。为什么？因为没搞懂最基础的原理。今天我就把针孔模型、畸变模型、内参矩阵K这三个核心概念，掰开了揉碎了讲清楚。

1.1 针孔模型：最简单的相机

相机成像，说白了就是小孔成像。你想想看，一个暗箱，前面戳个小孔，光线穿过小孔在后面的感光元件上成像。这就是针孔模型。

但这里有个问题——小孔太小，进光量不够，成像太暗。所以实际相机都用透镜。不过没关系，数学上我们还是用针孔模型来近似。

我个人习惯把针孔模型拆成三步：

1. 世界坐标系：物体在真实世界中的位置 (X, Y, Z)
2. 相机坐标系：以相机光心为原点，Z轴指向镜头前方
3. 图像坐标系：最终在像素平面上的位置 (u, v)

从世界到图像，中间有个投影关系。公式很简单：

u = f * X / Z + u0
v = f * Y / Z + v0

其中 f 是焦距，u0、v0 是光心在像素平面上的偏移。嗯，这里要注意，实际相机传感器不是完美的正方形，所以 f 在 u 和 v 方向上可能不一样。我们后面会讲到。

1.2 畸变模型：现实总是不完美

我在项目中遇到过最头疼的问题，就是畸变。你标定出来的参数，如果没处理好畸变，那后面的三维重建、SLAM全都会飘。

畸变主要分两种：

径向畸变

说白了就是镜头边缘的「桶形」或「枕形」变形。越靠近图像边缘，变形越明显。为什么会这样？因为透镜的曲率不是完美的球面。

数学上用泰勒展开来近似：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r 是像素到光心的距离，k1、k2、k3 是径向畸变系数。一般用 k1、k2 就够了，k3 是给鱼眼镜头准备的。

切向畸变

这个更隐蔽。它是因为镜头和传感器不平行造成的。你想想看，如果镜头装歪了，成像自然就歪了。

公式也不复杂：

x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

p1、p2 就是切向畸变系数。说实话，大部分情况下切向畸变很小，但如果你做高精度测量，绝对不能忽略。

1.3 内参矩阵K：把一切装进矩阵

好了，现在我们把针孔模型和畸变模型整合起来。内参矩阵K就是干这个的。

K 矩阵长这样：

K = [fx,  0, cx
      0, fy, cy
      0,  0,  1]

其中：

• fx, fy：焦距在 u、v 方向上的像素尺度。注意，它们可能不一样！
• cx, cy：光心在像素平面上的偏移

为什么 fx 和 fy 可能不一样？因为传感器像素不是完美的正方形。我见过一些工业相机，像素是矩形的，fx 和 fy 能差 5%。

完整的投影公式就是：

s * [u, v, 1]^T = K * [R|t] * [X, Y, Z, 1]^T

其中 R 和 t 是外参，s 是尺度因子。这个公式就是整个相机标定的核心。

1.4 标定流程：从理论到实践

说了这么多理论，咱们看看实际怎么做。我一般用张正友标定法，步骤很简单：

1. 准备棋盘格：打印一张棋盘格，贴在平板上。格子大小要精确测量。
2. 拍摄多张图片：从不同角度拍摄棋盘格。我建议至少 15-20 张，覆盖各个位置和角度。
3. 提取角点：用 OpenCV 的 findChessboardCorners 提取棋盘格角点。
4. 求解内参：用最小二乘法求解 K 矩阵和畸变系数。
5. 优化：用 Levenberg-Marquardt 算法做非线性优化，最小化重投影误差。

代码示例（OpenCV Python）：

import cv2
import numpy as np

# 准备棋盘格角点坐标
objp = np.zeros((6*9, 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:9, 0:6].T.reshape(-1, 2)

# 存储所有图片的角点
objpoints = []  # 世界坐标系
imgpoints = []  # 图像坐标系

# 遍历图片
for fname in images:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (9, 6), None)
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        imgpoints.append(corners)

# 标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

print("内参矩阵 K:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

1.5 知识体系总览

为了让你更直观地理解整个知识结构，我画了一张图：

这张图把整个知识体系串起来了。从针孔模型到畸变模型，再到内参矩阵K，最后落到标定流程上。你照着这个思路学，不会乱。

好了，这一章就到这里。记住，标定不是跑个代码就完事了。理解原理，才能用好工具。下一章我们聊聊外参标定，那个更刺激。

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