第2章风险与收益的数学度量

2. 风险与收益的数学度量

做量化交易，说白了就是在风险和收益之间找平衡。你想想看，如果有一笔投资稳赚不赔，那所有人都会冲进去，收益率立马被拉平。现实世界里，高收益往往伴随着高风险。那怎么量化这两个东西呢？这就是我们今天要聊的核心。

我个人习惯，在搭建任何策略之前，先把数学工具准备好。就像盖房子要先看图纸一样，这些度量指标就是你的设计蓝图。

期望收益率，听起来挺唬人，其实就是「平均来看，我能赚多少」。它不是预测未来，而是基于历史数据或概率分布的一个数学期望。

公式很简单：

E(R) = Σ (Pi × Ri)

其中，Pi 是第 i 种情况发生的概率，Ri 是第 i 种情况下的收益率。

举个例子：

假设某只股票，有 60% 的概率涨 10%，有 40% 的概率跌 5%。那么它的期望收益率就是：

E(R) = 0.6 × 10% + 0.4 × (-5%) = 6% - 2% = 4%

嗯，这里要注意：期望收益率不等于实际收益率。它只是一个「平均概念」。我在项目中遇到过不少新手，看到期望收益率是正的，就以为稳了。其实不是这样，它只是告诉你，如果重复很多次，平均下来是这个数。

我的习惯： 在做策略回测时，我会用滚动窗口计算期望收益率，而不是用全样本。因为市场环境会变，用太久远的数据算出来的期望，可能已经失效了。

期望收益率告诉你「赚多少」，方差和标准差告诉你「稳不稳」。说白了，就是看收益率波动有多大。

方差公式：

σ² = Σ [Pi × (Ri - E(R))²]

标准差就是方差的平方根：σ = √σ²

为什么用标准差？

因为方差的单位是收益率的平方，不太好理解。标准差把单位还原回来了，跟收益率同一个量级。比如收益率是 10%，标准差是 15%，那你就知道，波动范围大概在 -5% 到 25% 之间（假设正态分布）。

我曾经犯过一个错误：只看收益率，不看标准差。结果选了一个高收益但波动极大的策略，回撤超过 40%，直接把我吓出一身冷汗。从那以后，我每次看策略，第一眼先看标准差。

指标	含义	数值越大说明
方差	收益率的离散程度	风险越高
标准差	风险的实际度量	波动越剧烈

避坑指南： 标准差假设收益率是对称分布的。但实际中，很多资产收益率是「尖峰厚尾」的，也就是极端情况比正态分布更多。所以，标准差虽然好用，但别迷信它。

单个资产的风险好算，但组合在一起呢？这就涉及到资产之间的「关系」了。

协方差衡量两个资产收益率一起变动的方向：

Cov(Ra, Rb) = Σ [Pi × (Ra_i - E(Ra)) × (Rb_i - E(Rb))]

如果协方差为正，说明两个资产同涨同跌；为负，则一个涨一个跌。

相关系数是协方差的标准化版本：

ρ = Cov(Ra, Rb) / (σa × σb)

相关系数的取值范围在 -1 到 1 之间。这个更好理解：

我记得有一次做资产配置，选了五只股票，结果发现它们之间的相关系数都在 0.8 以上。你想想看，这跟买一只股票有什么区别？分散了个寂寞。后来我调整了组合，加入了债券和商品，相关系数降到了 0.3 左右，组合的稳定性明显提升。

  核心要点： 组合优化的本质，就是找到那些相关系数低甚至为负的资产，让它们互相「对冲」风险。

好了，现在有了期望收益率（收益）和标准差（风险），我们就可以画出那条著名的曲线了——风险收益权衡曲线，也叫有效前沿。

这条曲线告诉我们：在给定的风险水平下，能获得的最大收益是多少。反过来，给定收益目标，最小风险是多少。

下面我用一张 SVG 图来展示这个核心逻辑：

这张图里，横轴是风险（标准差），纵轴是收益（期望收益率）。曲线上的每个点，都代表一个最优组合。曲线下方的区域，是「次优组合」——同样的风险，收益更低；或者同样的收益，风险更高。

我个人做组合优化时，会先画出这条曲线，然后根据自己能承受的最大回撤，在曲线上选一个点。比如我风险承受能力一般，就选中间偏左的位置，收益适中，风险可控。

一个小技巧： 如果你发现自己的组合点落在了曲线下方，别慌。这说明你的组合还有优化空间。调整一下资产权重，往曲线上靠，就能在不增加风险的情况下提高收益。

好了，这一章的内容就到这里。数学工具已经备好，下一章我们就要开始真正动手搭建组合了。

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