第1章：均值-方差优化——马科维茨模型、有效前沿、最大夏普比率组合、约束条件处理

1.1 马科维茨模型：现代投资组合理论的基石

说起资产配置，绕不开一个人——马科维茨。他老人家在1952年提出的均值-方差模型，说白了就是一句话：别把所有鸡蛋放在一个篮子里，但怎么放，得算清楚。

我刚开始做量化那会儿，觉得这模型太简单了。不就是算个期望收益和协方差矩阵嘛。后来在实盘中吃了亏，才明白它的精妙之处。

马科维茨模型的核心逻辑是这样的：

• 收益用期望收益率衡量，越高越好
• 风险用收益率的方差（或标准差）衡量，越低越好
• 目标：在给定风险下最大化收益，或在给定收益下最小化风险

数学上，我们要求解这样一个优化问题：

min  w^T Σ w
s.t. w^T μ = μ_target
     sum(w) = 1
     w_i ≥ 0  （可选，不允许做空）

其中w是权重向量，Σ是协方差矩阵，μ是预期收益向量。嗯，这里要注意，协方差矩阵的估计质量直接决定了模型的好坏。我在项目中遇到过，用过去3年的数据算协方差，结果市场风格一变，模型立马失效。

1.2 有效前沿：那条最美的曲线

有效前沿是什么？你想想看，把所有可能的投资组合画在风险-收益平面上，那些在相同风险下收益最高、或相同收益下风险最低的点连起来，就是有效前沿。

它长什么样？是一条向左上方凸起的曲线。为什么？因为资产之间的相关性不是完美的，组合能带来分散化收益。

我习惯用Python来画这条曲线。代码其实不复杂：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def efficient_frontier(mu, sigma, num_portfolios=10000):
    n_assets = len(mu)
    results = np.zeros((3, num_portfolios))
    
    for i in range(num_portfolios):
        weights = np.random.random(n_assets)
        weights /= np.sum(weights)
        
        port_return = np.dot(weights, mu)
        port_risk = np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(sigma, weights)))
        
        results[0, i] = port_return
        results[1, i] = port_risk
        results[2, i] = port_return / port_risk  # 夏普比率
    
    return results

这段代码随机生成权重，计算每个组合的收益和风险。跑个一万次，你就能看到有效前沿的轮廓了。不过说实话，随机采样效率不高，真正做研究时我会用凸优化直接求解。

1.3 最大夏普比率组合：最优的那个点

有效前沿上有无数个点，哪个最好？这取决于你的风险偏好。但有一个点很特殊——最大夏普比率组合。

夏普比率 = (组合收益 - 无风险利率) / 组合风险。它衡量的是每单位风险能带来多少超额收益。最大夏普比率组合，就是有效前沿上斜率最大的那个点。

怎么找？数学上，它是有效前沿与从无风险利率出发的射线的切点。代码实现也很直接：

def max_sharpe_portfolio(mu, sigma, rf=0.02):
    n = len(mu)
    
    # 用优化求解
    def neg_sharpe(weights):
        port_return = np.dot(weights, mu)
        port_risk = np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(sigma, weights)))
        return -(port_return - rf) / port_risk
    
    constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1})
    bounds = tuple((0, 1) for _ in range(n))
    
    result = minimize(neg_sharpe, 
                      n * [1./n], 
                      method='SLSQP',
                      bounds=bounds,
                      constraints=constraints)
    
    return result.x

我曾经用这个模型给一个FOF产品做配置，回测效果不错。但实盘时发现，最大夏普比率组合对输入参数特别敏感。预期收益稍微变一点，权重就天翻地覆。这就是所谓的“估计误差最大化”问题。

1.4 约束条件处理：让模型更接地气

纯数学上的马科维茨模型，允许你做空、允许你全仓一只股票。但现实中呢？

• 公募基金通常不允许做空
• 单个股票持仓不能超过10%
• 行业配置不能偏离基准太多
• 换手率要控制在合理范围

这些约束条件，说白了就是让模型从“理想”走向“现实”。处理起来也不复杂，在优化时加上bounds和constraints就行。

举个例子，假设我们要求：

• 每个资产权重在5%~30%之间
• 总权重为1
• 不做空

bounds = tuple((0.05, 0.30) for _ in range(n))
constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1})

你想想看，加了这些约束后，有效前沿会怎样？它会向内收缩——因为可行域变小了。但换来的是更稳健、更可执行的组合。

我个人习惯，在实盘前至少加三类约束：

1. 权重上下限：防止过度集中
2. 行业暴露：控制风格漂移
3. 换手率约束：降低交易成本

知识体系图：本章核心逻辑

---

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321