协整理论入门：从直觉到实战
协整，这个词听起来挺唬人的。我第一次接触时也觉得玄乎。
说白了，协整就是描述两个或多个时间序列之间，存在一种长期稳定的关系。哪怕它们各自都在乱跑，但彼此之间的差距不会越拉越大。
举个例子。你想想看，一个人牵着一条狗散步。人走的路径可能忽左忽右，狗跑的轨迹更是上蹿下跳。但狗绳的长度是固定的。所以无论人和狗怎么折腾，他们之间的距离始终围绕绳子长度波动，不会无限扩大。
这就是协整的直观理解——两个变量各自不平稳，但它们的线性组合是平稳的。
核心要点：协整 ≠ 相关。相关描述的是同步性，协整描述的是长期均衡关系。两只股票可能完全不相关，但它们的价差却可能具有协整关系。
平稳性：协整的前提
聊协整之前，必须先搞懂平稳性。我见过太多人跳过这一步，结果模型一跑就崩。
平稳性，简单说就是一个时间序列的统计性质不随时间变化。均值恒定、方差恒定、自协方差只与时间间隔有关。
不平稳的序列长什么样？
- 有明显的趋势（一直涨或一直跌）
- 季节性波动（每年固定时间涨跌）
- 随机游走（今天的价格 = 昨天的价格 + 随机扰动）
大多数金融价格序列都是不平稳的。你打开K线图看看，股价十年涨了十倍，均值一直在变，这显然不平稳。
我的经验：做统计套利时，我习惯先对每只标的做平稳性检验。如果序列本身是平稳的，那直接做均值回归策略就行，根本不需要协整。协整的价值，恰恰在于处理那些各自不平稳、但组合后变平稳的情况。
单位根检验：ADF检验
怎么判断一个序列是否平稳？最常用的方法是单位根检验。
单位根，你可以理解为「不平稳的根源」。如果一个时间序列模型的特征方程有单位根（即根为1），那这个序列就是不平稳的。
ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是检验单位根的标准工具。它的原假设是：序列存在单位根（即不平稳）。
检验逻辑很简单：
- 如果p值小于显著性水平（通常0.05），拒绝原假设，序列平稳
- 如果p值大于0.05，不能拒绝原假设，序列不平稳
# Python中的ADF检验示例
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# 假设price是某只股票的价格序列
result = adfuller(price)
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p值: {result[1]:.4f}')
if result[1] < 0.05:
print('序列平稳，拒绝单位根假设')
else:
print('序列不平稳，存在单位根')
注意：ADF检验对滞后阶数的选择比较敏感。我一般用AIC或BIC准则自动选择最优滞后阶数，而不是拍脑袋定一个固定值。曾经有一次我偷懒用了默认参数，结果把不平稳的序列误判为平稳，回测时亏了不少。
Engle-Granger两步法
这是最经典的协整检验方法。1987年由Engle和Granger提出，两人后来还拿了诺贝尔奖。
两步法，顾名思义，分两步走：
- 第一步：估计协整关系
- 用OLS回归：y = α + βx + ε
- 得到残差序列 ε
- 第二步：检验残差的平稳性
- 对残差 ε 做ADF检验
- 如果残差平稳，说明y和x存在协整关系
嗯，这里要注意。第一步回归得到的β就是协整系数，它代表两个序列之间的长期均衡关系。残差就是价差，也就是我们做统计套利时交易的对象。
# Engle-Granger两步法示例
import statsmodels.api as sm
# 第一步：回归
X = sm.add_constant(price_x)
model = sm.OLS(price_y, X).fit()
beta = model.params[1]
residuals = model.resid
# 第二步：检验残差平稳性
result = adfuller(residuals)
print(f'残差ADF检验p值: {result[1]:.4f}')
if result[1] < 0.05:
print('存在协整关系，可以构建配对交易策略')
print(f'协整系数 β = {beta:.4f}')
else:
print('不存在协整关系，换个标的试试')
避坑指南：Engle-Granger两步法有个小毛病——第一步回归时，选择哪个变量作为y、哪个作为x会影响结果。我建议两个方向都试一下，选残差更平稳的那个组合。另外，这个方法只适用于两个变量之间的协整检验，变量多了就不灵了。
Johansen检验简介
当你要处理三个或更多变量时，Engle-Granger就不够用了。这时候需要Johansen检验。
Johansen检验的核心思想，是基于向量自回归模型（VAR），通过检验特征根的个数来确定协整关系的数量。
它输出两个统计量：
- 迹统计量（Trace Statistic）：检验协整秩是否小于等于r
- 最大特征值统计量（Max Eigenvalue Statistic）：检验协整秩是否恰好为r
说白了，Johansen检验能告诉你：这些变量之间，到底存在几对协整关系。
# Johansen检验示例
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen
# 假设data是一个包含多只股票价格的DataFrame
result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)
print('迹统计量:', result.lr1)
print('迹统计量临界值(95%):', result.cvt)
print('最大特征值统计量:', result.lr2)
print('最大特征值临界值(95%):', result.cvm2)
# 判断协整关系个数
r = 0
for i in range(len(result.lr1)):
if result.lr1[i] > result.cvt[i]:
r += 1
print(f'存在 {r} 个协整关系')
我的建议：做多标的统计套利时，我一般先用Johansen检验看看整体协整结构，再用Engle-Granger去确认具体的配对关系。两者结合使用，效果更好。Johansen检验对滞后阶数也很敏感，我习惯用信息准则多试几个阶数，选最稳定的那个。
本章知识体系
下面这张图，帮你理清协整理论的核心脉络：
这张图把协整理论的几个核心模块串起来了。从直观理解出发，到平稳性概念，再到ADF检验，最后引出两种主流检验方法。做统计套利时，这套流程基本够用了。
我个人习惯是先做Johansen检验看看全局，再用Engle-Granger精确定位具体的配对。两种方法各有优劣，配合使用才能发挥最大价值。