图论基础：图的基本概念与表示方法

各位同学，今天我们来聊聊图论基础。说实话，图论这东西，我刚开始接触金融网络时也觉得挺抽象的。但后来发现，你想想看，金融系统本质上就是一个巨大的关系网——谁借了谁的钱，谁持有了谁的股份，这些不都是「边」和「节点」吗？

图的基本概念

先说说最基础的东西。图由两部分组成：节点和边。

• 节点（Vertex）：也叫顶点。在金融网络里，节点可以是银行、企业、个人，甚至是一个交易账户。我个人习惯用 V 表示节点集合。
• 边（Edge）：连接两个节点的线。表示关系。比如 A 银行向 B 银行拆借了资金，那就是一条边。
• 度（Degree）：一个节点连接的边的数量。嗯，这里要注意：在有向图里，度还分「入度」和「出度」。

我在项目中遇到过一件事：有次分析银行间拆借网络，发现某个节点的度特别高。一开始以为是系统重要性银行，后来一查，原来是数据录入错误，把几十笔交易都挂到了同一个节点上。所以啊，度这个指标虽然简单，但数据质量不过关，再好的模型也是白搭。

图的类型

图不是只有一种。根据边的性质，我们通常分三类：

无向图

边没有方向。比如两家公司互相持股，这种关系是对等的。说白了，就是 A 和 B 之间有边，那 B 和 A 之间也有同一条边。

有向图

边有方向。比如 A 向 B 贷款，那箭头就是从 A 指向 B。这在金融网络里特别常见——资金流向、股权控制，都是有方向的。

加权图

边上有权重。比如贷款金额、持股比例。权重可以表示关系的「强度」或「大小」。

类型	特点	金融场景举例
无向图	边无方向	两家公司互相担保
有向图	边有方向	A 向 B 放贷
加权图	边带权重	贷款金额 1000 万

图的表示方法

图在计算机里怎么存？主要有两种方式。

邻接矩阵

用一个 N×N 的矩阵来表示。N 是节点数。如果节点 i 和节点 j 之间有边，那矩阵的 (i, j) 位置就是 1（或者权重值）。

# 一个简单的邻接矩阵示例
# 3个节点，边：0→1, 1→2, 2→0
adj_matrix = [
    [0, 1, 0],
    [0, 0, 1],
    [1, 0, 0]
]

邻接矩阵的好处是直观，查边快。但缺点也很明显——如果图很稀疏（节点多、边少），那矩阵里全是 0，浪费内存。我曾经处理过一个 10 万节点的金融网络，用邻接矩阵直接内存爆了。嗯，那时候我才意识到，选对表示方法有多重要。

邻接表

每个节点维护一个列表，存它连接到的所有邻居节点。这样只存有边的信息，省空间。

# 同样的图，用邻接表表示
adj_list = {
    0: [1],
    1: [2],
    2: [0]
}

知识体系总览

下面这张图，把本章的核心内容串起来了。你可以看到，从基本概念出发，我们分出了图的类型和表示方法，而这两者又相互关联。

你看，从中心向外发散，三个分支构成了图论的基础骨架。我个人建议，初学者先把「基本概念」吃透，再去看类型和表示方法。别一上来就搞邻接矩阵的优化，那是后面的事。