数学基础回顾：期望与方差
聊均值方差优化，绕不开概率论。说白了，我们做投资决策，面对的都是不确定的未来。那怎么量化这种不确定性？期望和方差就是最趁手的工具。
我个人习惯把期望理解为「长期的平均回报」。你扔一枚公平的硬币，正面赚100，反面亏50。期望值就是 0.5×100 + 0.5×(-50) = 25。嗯，长期玩下去，平均每把赚25块。在投资里，我们通常用历史数据的均值来估计期望收益，但你要记住——历史不代表未来，这只是个估计值。
方差呢？它衡量的是「波动性」或者「风险」。还是上面那个硬币游戏，每次的结果要么+100要么-50，波动很大。如果换成另一个游戏，每次稳定赚25块，方差就是0。你想想看，作为投资者，你肯定希望收益高、方差小——但这俩往往不可兼得。
核心公式：
- 期望：E(R) = Σ pᵢ × Rᵢ
- 方差：Var(R) = E[(R - E(R))²]
- 标准差：σ = √Var(R)
我的经验：我在做量化回测时，经常发现新手只盯着期望收益看，忽略了方差。结果策略回测曲线漂亮，实盘一跑就崩。记住，方差才是让你晚上睡不踏实的东西。
协方差与相关系数
单个资产的风险我们搞清楚了。那两个资产之间有什么关系？这就轮到协方差登场了。
协方差衡量的是两个资产收益「同向变动」的程度。如果两个股票经常一起涨一起跌，协方差就是正的。如果一个涨一个跌，协方差就是负的。我在项目中遇到过这样的情况：明明两个都是好股票，放在一起却没能分散风险，就是因为协方差太大了。
但协方差有个问题——它受量纲影响。两个波动大的资产，协方差天然就大。这不好比较。所以我们需要相关系数，把它归一化到[-1, 1]之间。
| 指标 | 取值范围 | 含义 |
|---|---|---|
| 相关系数 = 1 | 完全正相关 | 同涨同跌，无法分散风险 |
| 相关系数 = -1 | 完全负相关 | 完美对冲，理论可消除风险 |
| 相关系数 = 0 | 不相关 | 独立变动，分散效果较好 |
避坑指南：我曾经犯过一个错误——只看相关系数接近0就以为风险分散了。后来发现，市场大跌时，所有资产的相关系数都会趋近于1。这就是所谓的「危机时刻，相关性趋同」。所以别太迷信历史相关系数。
矩阵运算基础
好，现在我们要处理几十上百只股票。一个个算协方差？手算会疯掉的。这时候矩阵就派上用场了。
矩阵说白了就是个数字表格。我们做投资组合时，会把n个资产的收益率写成一个列向量：
R = [R₁, R₂, ..., Rₙ]ᵀ协方差矩阵长这样：
Σ = [[σ₁₁, σ₁₂, ..., σ₁ₙ],
[σ₂₁, σ₂₂, ..., σ₂ₙ],
...
[σₙ₁, σₙ₂, ..., σₙₙ]]对角线是每个资产的方差，非对角线是协方差。这个矩阵是对称的，而且半正定——嗯，这个性质很重要，后面做优化时会用到。
矩阵乘法口诀：左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数。结果矩阵的(i,j)元素是左矩阵第i行与右矩阵第j列的点积。
我个人习惯用NumPy做矩阵运算，又快又不容易出错。你想想看，手动算一个50×50的协方差矩阵？那得算到猴年马月去。
线性代数在投资组合中的应用
终于到重点了。我们怎么用线性代数来描述一个投资组合？
假设你有n个资产，权重向量 w = [w₁, w₂, ..., wₙ]ᵀ，满足 Σwᵢ = 1。组合的期望收益就是：
E(Rp) = wᵀ · μ其中 μ 是期望收益向量。组合的方差呢？
Var(Rp) = wᵀ · Σ · w你看，一个复杂的投资组合问题，用矩阵表示就两行公式。这就是线性代数的威力。
我的习惯：每次构建组合前，我都会先检查协方差矩阵的条件数。条件数太大说明矩阵接近奇异，优化结果会很不稳定。这是我在一次实盘优化中踩过的坑——权重分配结果对输入参数极其敏感，稍微改一点数据，权重就大变样。
均值方差优化的核心就是：在给定收益下最小化方差，或者在给定风险下最大化收益。用数学语言说：
min wᵀΣw
s.t. wᵀμ = μ₀
wᵀ1 = 1这是一个带等式约束的二次规划问题。拉格朗日乘子法可以给出解析解。嗯，具体推导我们后面章节再细讲，这里先记住这个框架。
这张图把本章的知识体系串起来了。从最基础的期望方差出发，到资产间的关系（协方差），再到用矩阵高效表达，最后落到线性代数在组合优化中的应用。每一步都是下一章的基础。
本章要点：
- 期望衡量收益，方差衡量风险
- 协方差和相关系数描述资产间关系
- 矩阵是处理高维数据的利器
- 组合收益 = wᵀμ，组合方差 = wᵀΣw
好了，数学基础就铺垫到这里。这些工具在后面会反复用到，建议你动手用Python算一算，把公式变成代码，理解会更深刻。