2. 资产收益率与风险度量：单资产收益率计算与风险度量

各位同学，咱们今天聊点实在的。做量化投资，第一步不是找代码，也不是调参数，而是搞清楚你手里拿的资产到底是个什么脾气。说白了，就是收益率和风险怎么算。

我刚开始做量化那会儿，踩过一个坑：直接用简单收益率去算长期回报，结果发现数据越算越离谱。后来才明白，不同场景下该用不同的收益率定义。今天咱们就把这个事彻底讲透。

2.1 单资产收益率计算

2.1.1 简单收益率

简单收益率，也叫百分比收益率。公式很简单：

R_t = (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1}

其中 P_t 是今天的价格，P_{t-1} 是昨天的价格。

举个例子：昨天股价 100 元，今天涨到 105 元，那简单收益率就是 (105-100)/100 = 5%。

优点：直观，好理解。你跟客户说「今天赚了5%」，谁都听得懂。

缺点：时间不可加。什么意思？你算一周的总收益率，不能直接把每天的收益率加起来。比如第一天涨5%，第二天跌5%，总收益率不是0%，而是 (1+5%)*(1-5%)-1 ≈ -0.25%。

2.1.2 对数收益率

对数收益率，也叫连续复利收益率：

r_t = ln(P_t / P_{t-1})

还是刚才的例子：ln(105/100) ≈ 4.88%。

你可能会问：为什么比简单收益率小一点？嗯，这就是数学上的一个特性——对数收益率永远小于等于简单收益率，而且价格波动越大，差距越明显。

对数收益率的核心优势：时间可加性。一周的对数收益率，等于每天对数收益率之和。这在做时间序列分析时特别方便。

我个人习惯：做回测和统计分析时，一律用对数收益率。只有在跟客户汇报时，才转成简单收益率。

2.2 资产风险度量：方差与标准差

收益率算完了，接下来就是风险。风险怎么量化？最经典的就是方差和标准差。

方差衡量的是收益率偏离平均水平的程度。公式：

σ² = (1/n) * Σ(R_i - μ)²

标准差就是方差的平方根：σ = √σ²

为什么用标准差而不用方差？因为标准差的单位和收益率一样，都是百分比，更直观。比如某只股票日收益率标准差是2%，意思就是每天涨跌2%左右是常态。

我在项目中遇到过一个问题：用样本方差还是总体方差？

如果你用的是历史数据去估计未来的风险，记得用样本方差（分母是 n-1）。因为样本方差是无偏估计，能更好地反映真实波动。

# Python 代码示例
import numpy as np

# 假设有5天的收益率数据
returns = np.array([0.02, -0.01, 0.03, 0.01, -0.02])

# 样本方差（分母 n-1）
sample_var = np.var(returns, ddof=1)
sample_std = np.std(returns, ddof=1)

print(f"样本方差: {sample_var:.6f}")
print(f"样本标准差: {sample_std:.4f}")

2.3 协方差与相关系数矩阵

单资产的风险算完了，那多个资产之间怎么衡量关系？这就轮到协方差和相关系数出场了。

2.3.1 协方差

协方差衡量两个资产收益率一起变动的方向：

Cov(R_A, R_B) = (1/n) * Σ(R_A,i - μ_A)(R_B,i - μ_B)

协方差为正：两个资产同涨同跌。协方差为负：一个涨，另一个跌。

但协方差有个问题：它的数值大小没有统一标准。比如股票A和B的协方差是0.02，这算大还是小？没法判断。

2.3.2 相关系数

相关系数把协方差标准化到[-1, 1]之间：

ρ = Cov(R_A, R_B) / (σ_A * σ_B)

• ρ = 1：完全正相关，两个资产走势一模一样
• ρ = -1：完全负相关，一个涨另一个必然跌
• ρ = 0：不相关，两个资产独立波动

我曾经犯过一个错：以为相关系数低就一定能分散风险。后来发现，市场暴跌时，所有资产的相关系数都会趋近于1。这就是所谓的「危机时刻，相关性趋同」。嗯，这个坑我替你们踩过了。

2.3.3 协方差矩阵

当你有N个资产时，把所有两两之间的协方差放在一个矩阵里，就是协方差矩阵：

Σ = [[σ₁², Cov₁₂, ..., Cov₁ₙ],
     [Cov₂₁, σ₂², ..., Cov₂ₙ],
     ...
     [Covₙ₁, Covₙ₂, ..., σₙ²]]

这个矩阵是马科维茨模型的核心输入。你想想看，没有它，你就没法做投资组合优化。

2.4 本章知识体系

下面这张图帮你理清本章的核心逻辑：

2.5 实战中的注意事项

最后，分享几个我在实战中总结的经验：

1. 数据频率选择：日收益率波动大，但信息丰富；周收益率更平滑，适合长期分析。我一般先用日数据做分析，最后汇报时转成年度化数据。
2. 异常值处理：股票停牌、分红、拆股都会导致收益率异常。记得做数据清洗，不然协方差矩阵会失真。
3. 滚动窗口：别用全部历史数据算一个固定的协方差矩阵。市场在变，我习惯用滚动12个月的数据，每月更新一次。
4. 年度化处理：日标准差乘以√252（交易日天数），就得到年化标准差。这个转换在汇报时很常用。

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