第2章白噪声与随机游走

第1章：白噪声与随机游走——金融数据平稳化的第一道坎

说实话，我刚入行做量化的时候，最头疼的就是数据预处理。你拿到的股票价格、汇率、利率，看着挺整齐，但一跑模型就崩。为什么？因为大部分金融数据压根儿就不老实——它们是非平稳的。

这一章，咱们先搞定两个最基础的概念：白噪声和随机游走。这俩是理解平稳性的钥匙。我个人习惯把白噪声当作“基准线”，把随机游走当作“反面教材”。搞懂它们，你就能明白为什么很多模型在金融数据上直接跑会翻车。

1.1 白噪声：最干净的随机性

白噪声，说白了就是“纯粹的随机”。它没有任何规律可循，没有趋势，没有周期，也没有记忆。你猜不到下一秒的值是多少，因为它的每一步都是独立、随机的。

数学上，一个白噪声序列 εₜ 满足三个条件：

均值为0：长期来看，正负波动相互抵消
方差恒定：波动幅度不随时间变化
无自相关：今天的值和昨天的值没有任何关系

我在项目中遇到过这样的情况：有人把残差序列画出来，看着挺随机，就以为是白噪声。结果一算自相关函数，好几个滞后项都显著。嗯，这里要注意——肉眼判断不靠谱，得用统计检验。

白噪声的检验方法：

Ljung-Box检验：检验残差是否存在自相关。p值大于0.05，基本可以认为是白噪声。
Q统计量：类似Ljung-Box，但更适用于小样本。

你想想看，如果模型的残差不是白噪声，说明模型没把信息提取干净——还有规律没被捕捉到。这时候模型就是有问题的。

1.2 随机游走：金融数据的“默认模式”

随机游走，是白噪声的“积分版”。它的定义很简单：

Yₜ = Yₜ₋₁ + εₜ

其中 εₜ 是白噪声。也就是说，今天的值 = 昨天的值 + 一个随机扰动。

为什么说金融数据大多是随机游走？你看看股票价格——今天的收盘价，基本就是昨天的收盘价加上一个随机波动。没有明显的“回归均值”倾向，价格可以一路涨上去，也可以一路跌下来。

我记得有一次做回测，用ARIMA模型直接拟合股价，结果预测值几乎就是昨天的收盘价。我当时还纳闷，后来才意识到——随机游走的数据，最优预测就是上一个值。你费半天劲，还不如直接说“明天和今天一样”。

避坑指南：

我曾经在项目里直接用原始价格数据训练回归模型，结果R²高达0.98，开心得不行。后来发现——这纯粹是伪回归。两个随机游走序列之间很容易出现虚假的相关性。记住：非平稳数据之间做回归，大概率是骗人的。

1.3 单位根：随机游走的“身份证”

单位根这个概念，很多人觉得抽象。其实说白了，它就是判断一个序列是不是随机游走的数学工具。

我们看一个AR(1)模型：

Yₜ = φ · Yₜ₋₁ + εₜ

如果 φ = 1，这就是随机游走。这个 φ = 1 就是“单位根”。

为什么叫“单位根”？因为特征方程的根等于1。你不用纠结这个，记住结论就行：

φ 的值	序列性质	平稳性
\|φ\| < 1	均值回归，冲击衰减	平稳
φ = 1	随机游走，冲击永久	非平稳
\|φ\| > 1	爆炸性增长	非平稳（少见）

检验单位根最常用的方法是ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）。它的原假设是“存在单位根”，也就是序列非平稳。如果p值小于0.05，就拒绝原假设，认为序列平稳。

注意：ADF检验对滞后阶数敏感。选少了，自相关没消除；选多了，检验功效下降。我个人习惯用AIC或BIC自动选择滞后阶数，或者直接取 int(12 * (n/100)^(1/4)) 这个经验公式。

1.4 代码实战：模拟白噪声与随机游走

光说不练假把式。咱们用Python模拟一下，看看它们长什么样。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 设置随机种子
np.random.seed(42)

# 生成白噪声
white_noise = np.random.normal(0, 1, 200)

# 生成随机游走
random_walk = np.cumsum(white_noise)

# ADF检验
print("白噪声ADF检验p值:", adfuller(white_noise)[1])
print("随机游走ADF检验p值:", adfuller(random_walk)[1])

# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(white_noise)
plt.title("白噪声序列")
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(random_walk)
plt.title("随机游走序列")
plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果：白噪声的ADF p值通常远小于0.05（平稳），随机游走的p值通常大于0.05（非平稳）。你试试看，每次运行结果可能略有不同，但结论一致。

核心结论：

白噪声是平稳的，随机游走是非平稳的
随机游走 = 白噪声的累积和
单位根检验是判断非平稳的“金标准”