第三章 数学基础（二）：微分几何与曲面拟合

各位同学，欢迎来到第三章。上一章我们聊了向量、矩阵和优化，算是把工具包备齐了。这一章，我们要真正进入自由曲面的核心——微分几何和曲面拟合。

说实话，我刚入行那会儿，觉得微分几何就是数学家的玩具，跟我做光学设计有什么关系？直到有一次，我设计一个离轴三反系统，光线追迹怎么都收敛不了，折腾了两周。最后一位老前辈看了一眼我的曲面，说了一句：“你这高斯曲率都跳成什么样了，光线能追过去才怪。” 从那以后，我再也不敢小看这些“数学玩具”了。

3.1 曲面的第一基本形式

先问大家一个问题：你在曲面上量一段曲线的长度，怎么量？

你可能会说，用尺子量啊。但在数学上，我们需要一个工具来描述曲面上的“度量”。这就是第一基本形式。

假设我们有一个参数曲面 r(u, v)，那么曲面上任意一点处的切向量可以表示为 r_u 和 r_v。曲面上一条曲线的弧长微元 ds 满足：

ds² = E du² + 2F du dv + G dv²

其中：

• E = r_u · r_u
• F = r_u · r_v
• G = r_v · r_v

E、F、G 这三个系数，就是第一基本形式的系数。它们完全决定了曲面上的长度和角度度量。

3.2 曲面的第二基本形式

第一基本形式告诉我们“怎么量”，第二基本形式则告诉我们“怎么弯”。

第二基本形式的系数定义为：

L = ruu · n
M = ruv · n
N = rvv · n

其中 n 是曲面的单位法向量。第二基本形式可以写成：

II = L du² + 2M du dv + N dv²

这个形式描述的是曲面在某个方向上的弯曲程度。说白了，就是曲面偏离其切平面的程度。

3.3 主曲率与高斯曲率

有了第一和第二基本形式，我们就可以计算曲率了。曲率这东西，说白了就是曲面“弯”的程度。

在曲面上任意一点，沿着不同方向，弯曲程度是不一样的。其中有两个特殊方向，弯曲程度达到极值，这就是主方向，对应的曲率就是主曲率 κ₁ 和 κ₂。

主曲率可以通过求解以下方程得到：

(EG - F²)κ² - (EN + GL - 2FM)κ + (LN - M²) = 0

解这个二次方程，得到两个根，就是 κ₁ 和 κ₂。

高斯曲率 K 定义为两个主曲率的乘积：

K = κ₁ · κ₂ = (LN - M²) / (EG - F²)

高斯曲率是一个非常重要的量。为什么？因为它只依赖于第一基本形式，与曲面的参数化方式无关。这就是著名的“绝妙定理”。

平均曲率 H 则是两个主曲率的平均值：

H = (κ₁ + κ₂) / 2 = (EN + GL - 2FM) / 2(EG - F²)

平均曲率在光学设计中也很重要。比如，反射镜的像散就与平均曲率的变化有关。

3.4 曲面拟合与插值算法

好了，理论讲完了。现在问题来了：我们设计自由曲面时，通常是用一系列离散的点来描述曲面形状的。怎么从这些离散点得到连续的曲面？这就涉及到曲面拟合。

我常用的方法有两种：最小二乘法和径向基函数。

3.4.1 最小二乘法

最小二乘法大家应该不陌生。它的核心思想是：找一个曲面，使得所有数据点到这个曲面的距离的平方和最小。

假设我们用多项式基函数来拟合：

z(x, y) = a₀ + a₁x + a₂y + a₃x² + a₄xy + a₅y² + ...

那么问题就转化为求解系数向量 a，使得：

min ||Φa - z||²

其中 Φ 是基函数矩阵，z 是数据点的高度值。这个问题的解是：

a = (ΦᵀΦ)⁻¹Φᵀz

3.4.2 径向基函数

最小二乘法适合拟合比较平滑的曲面。但如果数据点分布不均匀，或者曲面局部变化剧烈，最小二乘法就不太够用了。这时候，我推荐用径向基函数。

径向基函数的形式是：

z(x, y) = Σᵢ wᵢ φ(||(x, y) - (xᵢ, yᵢ)||)

其中 φ 是径向基函数，常用的有：

• 高斯函数：φ(r) = exp(-ε²r²)
• 多二次函数：φ(r) = √(r² + c²)
• 薄板样条：φ(r) = r² log(r)

权重 wᵢ 通过求解线性方程组得到：

Φw = z

其中 Φ_ij = φ(||p_i - p_j||)。

3.5 知识体系总览

为了让大家更直观地理解本章的知识结构，我画了一张图：

3.6 本章小结

这一章的内容确实有点硬核。但请相信我，这些数学工具是自由曲面设计的基石。

• 第一基本形式：告诉你曲面上的长度和角度怎么算
• 第二基本形式：告诉你曲面怎么弯曲
• 主曲率和高斯曲率：判断曲面是否可加工的关键指标
• 最小二乘法：适合平滑曲面的全局拟合
• 径向基函数：适合局部变化剧烈的曲面拟合

嗯，我记得有一次在项目评审会上，一个年轻工程师拿着他的设计报告，高斯曲率图上一片红。我问他：“你这个曲面，打算怎么加工？” 他愣住了。所以，学完这一章，我希望大家能养成一个习惯：设计完曲面，先看看它的曲率分布，再想想怎么加工。

下一章，我们会把这些数学工具真正用起来，开始讲自由曲面的参数化建模。到时候，你会发现今天的苦功夫都是值得的。

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