第二章：相机成像模型——针孔相机模型、透镜畸变与内外参矩阵

做视觉引导定位，第一步要搞清楚的，就是相机到底怎么「看」世界的。

你想想看，一个三维空间里的点，怎么就能变成图像上那个像素坐标？这中间经历了什么？说白了，就是一套数学变换。我刚开始接触这行的时候，也觉得这些公式枯燥，但后来在产线上调试一个高精度对位项目，发现标定参数差一点点，抓取偏差就跑到毫米级去了。嗯，从那以后，我再也不敢小看这个模型了。

2.1 针孔相机模型——最朴素的成像原理

针孔相机模型，是所有成像模型的基石。它假设光线是直线传播的，穿过一个小孔，在后面的成像平面上形成倒像。

这个模型虽然简单，但足够描述大多数工业相机的工作方式。我们通常把成像平面「虚拟」到相机前方，这样图像就是正的了，计算起来也方便。

核心公式就一个：

// 从世界坐标到像素坐标的映射
// 假设相机坐标系下点 P(Xc, Yc, Zc)
// 归一化平面坐标 (x, y) = (Xc/Zc, Yc/Zc)
// 像素坐标 (u, v) = (fx * x + cx, fy * y + cy)

这里 fx, fy 是焦距在像素单位下的值，cx, cy 是光心在图像上的位置。这些参数，就是我们要标定的内参。

2.2 透镜畸变——现实世界没有完美的针孔

实际镜头不是针孔，是透镜。透镜就有畸变。我在项目中遇到过最头疼的情况：标定板拍出来直线全是弯的，但肉眼看不出来。一测量，边缘偏差好几个像素。

畸变主要分两类：

2.2.1 径向畸变

这是最常见的畸变。光线经过透镜边缘时，弯曲程度比中心大。表现为图像边缘的直线向内或向外弯曲。

• 桶形畸变：图像向外膨胀，像桶一样。广角镜头常见。
• 枕形畸变：图像向内收缩，像枕头一样。长焦镜头常见。

数学上，我们用三个参数 k1, k2, k3 来描述：

// 径向畸变校正
r² = x² + y²
x_corrected = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)

注意，k3 通常只在畸变很大的镜头（比如鱼眼）才用。普通工业镜头，标定 k1, k2 就够了。

2.2.2 切向畸变

这个畸变是因为镜头和成像平面不平行造成的。说白了，就是镜头装歪了。

切向畸变用两个参数 p1, p2 描述：

// 切向畸变校正
x_corrected = x + (2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²))
y_corrected = y + (p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y)

2.3 相机内参矩阵——把物理世界映射到像素

内参矩阵，就是把相机坐标系下的点，映射到像素坐标的桥梁。它长这样：

// 相机内参矩阵 K
K = | fx   0   cx |
    | 0    fy  cy |
    | 0    0    1 |

这个矩阵里，fx, fy 是焦距，cx, cy 是光心。它们决定了：

• 一个物体在图像上有多大（fx, fy）
• 图像的中心在哪里（cx, cy）

我曾经犯过一个低级错误：把 cx, cy 直接设成图像宽高的一半。结果标定出来的参数怎么都对不上。后来才发现，光心不一定在图像正中心，尤其是工业相机，装配误差会导致光心偏移几十个像素。

2.4 相机外参矩阵——把世界坐标转到相机坐标

外参矩阵描述的是相机在世界坐标系中的位置和姿态。它由旋转矩阵 R 和平移向量 t 组成：

// 外参矩阵 [R|t]
// 世界坐标点 Pw 转到相机坐标 Pc
Pc = R * Pw + t

外参矩阵有 6 个自由度：3 个旋转角度（绕 x, y, z 轴）和 3 个平移量。

在视觉引导定位中，外参矩阵就是「手眼标定」要解的东西。你想想看，机器人要抓一个工件，相机看到了工件的位置，但相机装在机器人上，你得知道相机相对于机器人末端的位姿，才能把相机看到的坐标换算成机器人能用的坐标。

2.5 知识体系总览

下面这张图，是我自己整理的本章节知识结构。你可以把它当作一个「地图」，学完这一章，你应该能说清楚每个模块是干什么的。

2.6 本章小结

这一章我们聊了相机成像的底层逻辑。记住三点：

1. 针孔模型是基础，理解它你就能看懂所有成像公式。
2. 畸变校正是精度保障，工业现场千万别跳过这一步。
3. 内外参矩阵是坐标转换的桥梁，手眼标定就是解外参。

下一章，我们会把这些参数「算出来」——也就是相机标定的具体操作。到时候我会分享一些我在产线上踩过的坑，保证实用。

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