第四章：张正友标定法——棋盘格标定、角点检测、单应性矩阵、标定流程详解

说到相机标定，张正友标定法绝对是绕不开的经典。我入行那会儿，第一次做视觉测量项目，用的就是这套方法。说白了，它解决了我们最头疼的问题：怎么用一张打印的棋盘格，把相机的内参和外参算出来。

你可能会问：为什么非得用棋盘格？嗯，这里有个小秘密——棋盘格的角点检测特别稳定，而且它的几何结构简单，数学上容易处理。我个人习惯用7×9或8×10的棋盘格，太大太小都不好。

4.1 棋盘格标定：准备工作

先说说棋盘格。你打印一张棋盘格，贴在平板上，然后从不同角度拍十几张照片。注意，这里有个坑——棋盘格必须平整。我曾经用普通打印纸贴在纸板上，结果纸板有点弯，标定出来的参数偏差很大。

拍照时要注意几点：

• 棋盘格要占画面1/3以上
• 角度变化要丰富（俯仰、旋转、平移）
• 光照均匀，不要有反光
• 至少拍10-15张

4.2 角点检测：找到棋盘格的“锚点”

角点检测是标定的第一步。我们要找到棋盘格上每个黑白格子的交点。OpenCV里有个现成的函数——cv2.findChessboardCorners()。

它的原理其实不复杂：先对图像做二值化，然后找轮廓，再通过轮廓的拓扑关系定位角点。但实际用起来，你会发现有些照片就是检测不到角点。为什么？

我遇到过这种情况：光线太暗，或者棋盘格太远，角点就糊了。解决办法是：调整图像对比度，或者用cv2.cornerSubPix()做亚像素精度的角点定位。

import cv2
import numpy as np

# 棋盘格尺寸（内角点数量）
pattern_size = (7, 9)  # 7列9行内角点

# 读取图像
img = cv2.imread('chessboard.jpg')
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

# 检测角点
ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)

if ret:
    # 亚像素精化
    criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
    corners_sub = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11, 11), (-1, -1), criteria)
    
    # 绘制角点
    cv2.drawChessboardCorners(img, pattern_size, corners_sub, ret)
    cv2.imshow('Corners', img)
    cv2.waitKey(0)

4.3 单应性矩阵：连接世界坐标与图像坐标的桥梁

单应性矩阵（Homography）是张正友标定法的核心。它描述的是一个平面到另一个平面的投影变换。在标定中，就是棋盘格平面到像平面的变换。

数学上，单应性矩阵是一个3×3的矩阵，有8个自由度。为什么是8个？因为它是齐次坐标，可以归一化。你想想看，一个点从世界坐标(u, v)映射到图像坐标(x, y)，关系是这样的：

[x]   [h11 h12 h13] [u]
[y] = [h21 h22 h23] [v]
[1]   [h31 h32 h33] [1]

每对匹配点可以提供两个方程，所以至少需要4对点才能解出H矩阵。但实际中，我们通常用更多点（比如棋盘格上的所有角点），然后用最小二乘法求解。

我记得有一次做项目，发现标定结果总是不对。排查了半天，原来是棋盘格上的角点坐标顺序搞反了。嗯，这里要提醒你：世界坐标系的定义必须一致，否则单应性矩阵算出来就是错的。

4.4 标定流程详解：一步步来

张正友标定法的完整流程，我画了一张图帮你理解：

流程看起来简单，但每一步都有细节。我重点说说第4步到第6步——这是标定的核心。

4.5 内参求解：从单应性矩阵到相机内参

张正友标定法的巧妙之处在于：利用单应性矩阵的约束条件，直接解出内参。具体来说，每个单应性矩阵H可以分解为：

H = K [r1 r2 t]

其中K是内参矩阵，r1、r2是旋转矩阵的前两列，t是平移向量。因为r1和r2是正交的，所以可以得到两个约束方程。多张照片就能解出K。

这里有个数学细节：内参矩阵K有5个参数（fx, fy, cx, cy, s），但实际中我们通常假设s=0（像素无倾斜）。所以至少需要3张照片才能解出全部内参。

4.6 非线性优化：让结果更精确

闭合解虽然能算出内参，但精度不够。为什么？因为闭合解没有考虑畸变。所以张正友标定法最后一步是非线性优化，用Levenberg-Marquardt算法最小化重投影误差。

重投影误差是什么？说白了，就是把世界坐标系中的角点，用标定结果投影到图像上，然后跟实际检测到的角点位置比较。误差越小，标定越准。

OpenCV里用cv2.calibrateCamera()一步到位：

# 准备世界坐标
objp = np.zeros((pattern_size[0]*pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1, 2)

# 收集所有照片的角点
objpoints = []  # 世界坐标
imgpoints = []  # 图像坐标

for fname in image_files:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        imgpoints.append(corners)

# 标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

4.7 标定结果评估：怎么看标得好不好

标定完了，怎么知道结果好不好？我一般看三个指标：

指标	理想值	说明
重投影误差	< 0.5像素	所有角点的平均投影误差
主点坐标	接近图像中心	cx ≈ 图像宽度/2, cy ≈ 图像高度/2
焦距	与镜头参数一致	fx ≈ fy（对于方形像素）

如果重投影误差大于1像素，那标定结果基本不能用。我遇到过这种情况：检查后发现是棋盘格不平整，或者照片有运动模糊。重新拍一组就好了。

4.8 实际应用中的注意事项

最后，分享几个我在项目中积累的经验：

• 棋盘格尺寸要准确：每个格子的实际物理尺寸（比如30mm）必须精确测量，否则标定出来的尺度是错的。
• 照片要覆盖整个视场：棋盘格出现在画面的各个位置，这样畸变校正才准确。
• 不要用鱼眼镜头：张正友标定法假设畸变较小，鱼眼镜头的畸变太大，需要专门的标定方法。
• 定期重新标定：相机如果受到震动或温度变化，内参可能会变。我一般每3个月重新标定一次。

嗯，张正友标定法就讲到这里。这套方法虽然经典，但用好了，能解决90%的视觉测量问题。下次你遇到标定不准的情况，不妨回头看看这几个步骤——多半是角点检测或者照片质量出了问题。

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