3. 相机标定原理：张正友标定法详解，内参、外参、畸变系数的物理意义
说到双目测距，有个坎儿你绕不过去——相机标定。
我刚开始做双目的时候，觉得标定就是个“拍棋盘、跑代码”的流程。直到有一次，我拿着标定好的相机去测一个1米外的目标，结果误差直接飙到了5厘米。排查了半天，发现是标定板没放平，畸变参数全偏了。嗯，从那以后，我再也不敢小看标定这一步了。
说白了，相机标定就是给相机“量体裁衣”。你得知道它内部长什么样（内参），它放在什么位置（外参），以及它有没有“近视散光”（畸变）。今天我们就来拆解张正友标定法——这个在计算机视觉界被用到烂、但依然经典的方法。
3.1 为什么要标定？
你想想看，相机把三维世界投影到二维图像上，这个过程是有损失的。我们做双目测距，本质上是想从两张二维图里反推出三维信息。如果不知道相机本身的“脾气”，那反推出来的结果肯定不准。
标定的目的就两个：
- 建立数学模型：把现实世界的点 (X, Y, Z) 和图像上的像素 (u, v) 对应起来
- 消除畸变：镜头不是完美的，边缘会扭曲，得校正回来
我个人习惯，每次换镜头或者重新拧紧相机，都会重新标定一次。别偷懒，机械结构稍微动一下，参数就变了。
3.2 张正友标定法核心思想
张正友在1998年提出的这个方法，厉害在哪？它只需要你拍几张棋盘格照片，不需要知道相机运动轨迹，也不需要精密的3D标定物。一张打印的棋盘纸就够了。
核心逻辑是这样的：
- 假设棋盘格在三维空间中是平面（Z=0）
- 通过角点检测，找到棋盘格上每个角点在图像中的位置
- 利用单应性矩阵（Homography）建立世界坐标和图像坐标的关系
- 从多张不同角度的照片中，解算出内参和外参
- 最后用最小二乘法优化畸变系数
关键点：张正友标定法不需要知道相机在拍摄每张照片时的具体位置，它通过多张照片之间的几何约束来“自洽”地求解参数。这就是它为什么这么流行的原因——操作简单，结果可靠。
下面这张图是我自己画的，帮你理清整个标定的知识脉络：
3.3 内参的物理意义
内参矩阵长这样：
K = [fx 0 cx
0 fy cy
0 0 1]每个参数都有实实在在的物理含义：
- fx, fy：焦距在像素单位下的值。fx = F / dx，其中 F 是物理焦距（毫米），dx 是每个像素的物理宽度（毫米/像素）。说白了，fx 越大，说明同样距离的物体在图像上占的像素越多，也就是“放大倍数”越大。
- cx, cy：主点坐标，也就是光轴与成像平面的交点。理想情况下应该在图像正中心，但实际装配总有偏差。我遇到过一台相机，cx 偏了20多个像素，如果不校正，测距误差直接偏了3%。
我的经验：标定完一定要看一眼 cx, cy 的值。如果它们偏离图像中心太多（比如超过图像宽度的5%），说明镜头安装可能有偏心，建议重新固定相机再标一次。
3.4 外参的物理意义
外参描述的是相机坐标系和世界坐标系之间的变换关系：
[R | t] 其中 R 是 3x3 旋转矩阵，t 是 3x1 平移向量在双目系统中，外参有两层含义：
- 单张照片的外参：相机相对于棋盘格的位置和朝向。这个在张正友标定中每张照片都不同，我们其实不关心它，只是用它来辅助求解内参。
- 双目系统的外参：左相机相对于右相机的位置和朝向。这才是我们真正需要的！它描述了左右相机之间的“基线”长度和旋转关系。
我记得有一次做双目测距，基线长度标出来是120mm，但我实际量出来是119.5mm。差了0.5mm，测10米外的目标误差就大了将近4厘米。所以外参的精度直接影响测距精度，这一点怎么强调都不过分。
3.5 畸变系数的物理意义
镜头不是完美的，光线经过透镜会发生弯曲。畸变主要分两类：
| 畸变类型 | 参数 | 物理表现 |
|---|---|---|
| 径向畸变 | k1, k2, k3 | 图像边缘的直线变弯。k1 控制主要畸变量，k2 控制边缘更远处的畸变，k3 用于高畸变镜头（比如鱼眼）。 |
| 切向畸变 | p1, p2 | 镜头和成像平面不平行导致的畸变。表现为图像中的矩形变成梯形。 |
畸变校正的公式是这样的：
x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y其中 r^2 = x^2 + y^2，x, y 是归一化平面上的坐标。
避坑指南：我曾经用一张畸变很大的照片去标定，结果 k1 跑到了 -0.8 以上。校正后图像边缘出现了严重的“枕形”扭曲。后来发现是标定板太靠近图像边缘了。记住：标定板要覆盖画面的各个区域，尤其是四个角和中心，这样才能准确估计畸变参数。
3.6 标定流程中的实操要点
说了这么多理论，最后给几个实操建议：
- 棋盘格尺寸要准：每个格子的物理尺寸（比如30mm）必须精确测量。我见过有人随便写个25mm，结果标定出来的焦距全偏了。
- 照片数量要够：至少15-20张。角度要丰富——左右倾斜、上下倾斜、旋转，都要有。别全拍正面的，那样解不出内参。
- 重投影误差：标定完成后，看看重投影误差。一般小于0.5像素就算不错，超过1像素就要检查了。
- 双目标定要同步：左右相机同时拍摄同一块棋盘格，这样才能解出左右相机之间的外参。
嗯，标定这部分就讲到这里。参数的意义搞清楚了，你才知道标定程序在算什么，出了问题也知道往哪个方向排查。下一节我们会把这些参数用起来，做极线校正和立体匹配。
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