第四节：相机标定（上）——标定板设计与制作、张正友标定法原理、OpenCV标定流程

相机标定，说白了就是给相机做一次「视力矫正」。

你想想看，我们做双目视觉，核心任务是从两幅图像里算出深度信息。但如果相机本身有畸变，或者两个相机的内参都不知道，那后面的三角测量、视差计算全是空中楼阁。我刚开始做双目项目时，就吃过这个亏——标定没做好，出来的深度图全是歪的，折腾了两周才发现是标定板尺寸写错了。

所以这一节，咱们把标定这件事彻底讲透。

4.1 标定板设计与制作

标定板是标定的「尺子」。它的质量直接决定了标定精度。

4.1.1 棋盘格 vs 圆点阵

目前主流的有两种：

• 棋盘格：黑白相间，角点检测稳定。我个人习惯用棋盘格，因为OpenCV的findChessboardCorners非常成熟。
• 圆点阵：圆形图案，适合大视角或鱼眼镜头。但圆心检测精度受透视变形影响较大。

我的建议是：普通双目系统用棋盘格就够了。鱼眼或广角镜头，可以考虑圆点阵。

4.1.2 设计参数

参数	推荐值	说明
棋盘格内角点数	9×6 或 11×8	行列数不要相等，避免方向歧义
方格尺寸	20mm~30mm	根据场景距离调整，太大或太小都不好
打印精度	600dpi以上	用激光打印，别用喷墨，容易变形
底板材质	亚克力或铝板	贴平，不能有褶皱

4.1.3 制作流程

1. 用OpenCV的cv2.drawChessboardCorners生成图案，或者用棋盘格PDF模板。
2. 打印后测量实际方格尺寸，用游标卡尺量三次取平均。
3. 贴在刚性底板上，确保无气泡、无褶皱。
4. 拍摄时，标定板要占图像面积的1/4到1/3，太远角点检测不准。

4.2 张正友标定法原理

张正友老师在1998年提出的这个方法，可以说是相机标定领域的「标准答案」。它只需要一个平面标定板，拍几张不同角度的照片，就能算出内参和外参。

为什么能这么简单？核心思想就一句话：利用平面上的点，建立世界坐标到像素坐标的映射关系。

4.2.1 数学模型

我们先把公式摆出来：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, 0, 1]^T

其中：

• s 是尺度因子
• K 是内参矩阵（fx, fy, cx, cy）
• [R | t] 是外参（旋转和平移）
• [X, Y, 0] 是标定板上的点，Z=0是因为它是平面

嗯，这里要注意：因为Z=0，所以旋转矩阵的第三列其实被消掉了。这就把问题简化成了单应性矩阵的求解。

4.2.2 求解步骤

1. 检测角点：从每张图像中提取棋盘格角点坐标。
2. 计算单应性矩阵：每张图像都有一个H矩阵，连接世界坐标和像素坐标。
3. 约束内参：利用旋转矩阵的正交性，建立关于内参的线性方程组。
4. 求解内参：通过SVD分解得到内参的闭式解。
5. 非线性优化：用Levenberg-Marquardt算法最小化重投影误差。

4.2.3 畸变模型

实际镜头都有畸变，主要是径向畸变和切向畸变。张正友法用以下模型：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y

其中k1、k2、k3是径向畸变系数，p1、p2是切向畸变系数。一般标定5个参数就够了，k3只在鱼眼镜头里用。

4.3 OpenCV标定流程

理论讲完了，咱们直接上代码。OpenCV把张正友法封装得非常好，核心就几个函数。

4.3.1 完整标定代码

import cv2
import numpy as np
import glob

# 1. 准备世界坐标
chessboard_size = (9, 6)  # 内角点数
square_size = 25.0        # 方格尺寸，单位mm

objp = np.zeros((chessboard_size[0]*chessboard_size[1], 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:chessboard_size[0], 
                        0:chessboard_size[1]].T.reshape(-1, 2)
objp *= square_size

# 2. 存储所有图像的点
objpoints = []  # 世界坐标
imgpoints = []  # 像素坐标

images = glob.glob('calib_images/*.jpg')

for fname in images:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    
    # 检测角点
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, chessboard_size, None)
    
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        
        # 亚像素精确化
        criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
        corners2 = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)
        imgpoints.append(corners2)
        
        # 可视化
        cv2.drawChessboardCorners(img, chessboard_size, corners2, ret)
        cv2.imshow('img', img)
        cv2.waitKey(500)

cv2.destroyAllWindows()

# 3. 执行标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

# 4. 评估精度
mean_error = 0
for i in range(len(objpoints)):
    imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)
    error = cv2.norm(imgpoints[i], imgpoints2, cv2.NORM_L2) / len(imgpoints2)
    mean_error += error

print("平均重投影误差: ", mean_error/len(objpoints))

4.3.2 关键参数说明

参数	作用	我的建议
chessboard_size	内角点数	9×6最常用，别用对称的
square_size	方格实际尺寸	用游标卡尺量，别信打印尺寸
cornerSubPix	亚像素优化	必须做，精度提升明显
calibrateCamera	核心标定函数	返回内参、畸变、外参

4.3.3 标定结果验证

标定完别急着用，先验证一下：

# 去畸变
img = cv2.imread('test.jpg')
h, w = img.shape[:2]
newcameramtx, roi = cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx, dist, (w,h), 1, (w,h))
dst = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, newcameramtx)

# 裁剪有效区域
x, y, w, h = roi
dst = dst[y:y+h, x:x+w]
cv2.imshow('undistorted', dst)

去畸变后，图像边缘的直线应该变直了。如果还有弯曲，说明畸变参数没标好。

4.4 知识体系总览

我把这一节的核心逻辑画成了流程图，方便你理解整个标定流程：

这张图把整个标定流程串起来了。从标定板制作开始，到最终输出内参和畸变系数，每一步都环环相扣。你只要按这个流程走，标定结果不会差。

好了，这一节的内容就到这儿。标定是双目视觉的基石，花时间把这一步做扎实了，后面的深度估计才能稳。下一节我们继续讲双目立体标定和极线校正，那才是真正把两个相机「对齐」的关键一步。

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