第二章 相机成像模型与标定基础

做双目视觉这些年，我最大的体会是——标定是灵魂，模型是骨架。很多新手一上来就调立体匹配参数，折腾半天效果还是差，回头一看，原来是标定就没做好。嗯，这章我们就从最基础的针孔模型讲起，把相机怎么「看」世界这件事彻底说清楚。

2.1 针孔相机模型——相机是怎么「看」的？

说白了，针孔模型就是用一个数学公式描述「三维世界里的点，怎么映射到二维图像上」。你想想看，光线从物体表面反射，穿过镜头中心（光心），打在传感器上——这就是最朴素的成像过程。

我个人习惯把这个模型拆成四步走：

1. 世界坐标系：物体在真实空间中的位置 (X, Y, Z)
2. 相机坐标系：以光心为原点，Z轴指向镜头前方
3. 图像坐标系：在成像平面上，单位是毫米
4. 像素坐标系：最终图像上的行列坐标 (u, v)

核心公式其实就一个投影关系：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, Z, 1]^T

其中 K 是内参矩阵，[R | t] 是外参。内参决定了镜头本身的特性，外参决定了相机在世界中的位置和朝向。

2.2 透镜畸变——理想很丰满，现实很骨感

针孔模型是理想情况。但实际镜头嘛……嗯，总会有偏差。这就是畸变。我在项目中遇到过最头疼的情况——标定出来的内参看着没问题，但双目校正后图像就是不对齐。查了半天，原来是畸变参数没给对。

畸变主要分两种：

径向畸变（Radial Distortion）

说白了就是镜头边缘的弯曲。离中心越远，变形越明显。常见的有两种：

• 桶形畸变：图像向外凸出，像木桶一样。广角镜头常见。
• 枕形畸变：图像向内凹陷。长焦镜头常见。

数学上用泰勒级数来建模：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r 是像素到光心的距离，k1、k2、k3 是径向畸变系数。一般用 k1、k2 就够了，k3 是给鱼眼镜头准备的。

切向畸变（Tangential Distortion）

这个是因为镜头和传感器没有完全平行安装造成的。说白了就是「装歪了」。公式也不复杂：

x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_corrected = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

p1、p2 就是切向畸变系数。

2.3 相机标定原理——张正友标定法

说到标定，就绕不开张正友标定法。这是1998年张正友教授提出的方法，用一张棋盘格就能搞定内参和外参。为什么它这么流行？因为简单、实用、精度够。

核心思想就三步：

1. 拍多张棋盘格照片：从不同角度拍摄，至少10-15张。我建议20张左右，覆盖视野的各个区域。
2. 提取角点：找到棋盘格上每个黑白格子的交点。
3. 求解参数：利用角点的世界坐标和像素坐标，建立方程组，用最小二乘法求解。

具体来说，张正友法利用了棋盘格是平面这个特性（Z=0），把问题简化了。它先忽略畸变，求出内参的闭式解，然后再用最大似然估计优化所有参数（包括畸变系数）。

2.4 标定板的选择与制作

标定板选得好，标定就成功了一半。我个人习惯根据场景选择：

标定板类型	适用场景	优点	缺点
棋盘格（Checkerboard）	通用场景，室内/实验室	角点检测简单，成本低	需要整张可见，边缘角点易丢失
圆点阵（Circle Grid）	大视场角、广角镜头	圆心定位精度高	检测算法稍复杂
ChArUco板	部分遮挡场景、大视野	部分可见也能标定	需要额外解码库
高精度玻璃板	工业级、高精度需求	平面度极高，精度最好	贵，易碎

制作标定板时，有几点要注意：

• 打印精度：用激光打印机，不要用喷墨。喷墨的墨点扩散会影响角点精度。
• 衬板：贴在平整的硬板上，比如亚克力板或铝板。我推荐3mm厚的亚克力，性价比高。
• 尺寸：每个格子边长20-30mm比较合适。太小了角点检测不准，太大了又不好覆盖视野。
• 格子数：建议9×6或11×8（内角点）。奇数×偶数可以避免方向歧义。

嗯，这一章的内容就到这里。模型是基础，畸变是现实，标定是桥梁，标定板是工具。把这四块吃透了，后面的双目校正和立体匹配才能站得住脚。

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