第2章相机标定基础

2. 相机标定基础：相机成像模型与参数解析

做三维重建，第一步就是搞清楚相机是怎么“看”世界的。

说白了，相机就是一个把三维空间投影到二维平面的装置。这个投影过程，我们用一个数学模型来描述——就是经典的针孔模型。我刚开始接触这个的时候，也觉得不就是个小孔成像嘛，有啥好讲的？但真正上手做重建才发现，里面的门道可不少。

想象一个密闭的盒子，前面戳一个小孔。外面的光线穿过小孔，在盒子后面的感光平面上形成一个倒立的像。这就是针孔模型的核心思想。

数学上，我们把三维空间中的点 \( P(X, Y, Z) \) 映射到图像平面上的点 \( p(u, v) \)。这个映射关系，用齐次坐标写出来就是：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [X, Y, Z, 1]^T

嗯，这个公式看着有点吓人。别急，我们拆开来看。

其中，s 是一个尺度因子，K 是内参矩阵，[R | t] 是外参矩阵。整个公式的意思就是：世界坐标系下的一个点，先经过旋转和平移（外参），再经过投影缩放（内参），最后变成图像上的像素坐标。

  核心要点： 针孔模型假设光线是直线传播的，没有透镜畸变。但现实中的相机都有透镜，所以我们需要在模型基础上加入畸变校正。

内参矩阵 K 描述了相机本身的属性。它长这样：

K = [fx,  0, cx;
     0,  fy, cy;
     0,   0,  1]

这里：

我个人习惯把内参理解为“相机自己的尺子”。它决定了三维空间中的一个角度，在图像上对应多少个像素。比如，你用两个不同的相机拍同一个物体，内参不同，拍出来的物体大小和位置就会有差异。

我的经验： 我在项目中遇到过一台深度相机，标定出来的 cx、cy 明显偏离图像中心。一开始我以为是标定出错了，后来查了 datasheet 才发现，那款相机的 sensor 本身就是偏置安装的。所以，不要想当然地认为主点就在图像正中心。

外参矩阵 [R | t] 描述了相机在世界坐标系中的位置和朝向。

你想想看，同一个物体，你从正面拍和从侧面拍，得到的图像完全不同。这个“不同”就是由外参决定的。在三维重建中，我们经常需要把多个视角的点云融合到一起，这时候就必须知道每个视角的外参，才能把它们对齐到同一个世界坐标系下。

注意： 外参矩阵中的旋转矩阵 R 必须是正交矩阵，且行列式为 +1。我曾经在写代码时不小心传了一个非正交的矩阵进去，结果重建出来的模型扭曲得不成样子。排查了半天才发现是这里的问题。

针孔模型是理想情况。现实中的相机镜头，尤其是广角镜头，会引入畸变。主要有两种：

这是最常见的畸变。光线经过透镜边缘时，弯曲程度比中心大，导致图像边缘的直线变弯。分为：

数学上，我们用多项式来建模：

x_distorted = x * (1 + k1 * r^2 + k2 * r^4 + k3 * r^6)
y_distorted = y * (1 + k1 * r^2 + k2 * r^4 + k3 * r^6)

其中，r^2 = x^2 + y^2，k1、k2、k3 是径向畸变系数。

这是由于镜头和 sensor 平面不平行造成的。说白了，就是镜头装歪了。模型如下：

x_distorted = x + [2 * p1 * x * y + p2 * (r^2 + 2 * x^2)]
y_distorted = y + [p1 * (r^2 + 2 * y^2) + 2 * p2 * x * y]

其中，p1、p2 是切向畸变系数。

避坑指南： 我曾经用 OpenCV 做标定，发现重投影误差总是降不下去。后来检查发现，我用的标定板是打印在普通 A4 纸上的，纸有点皱，导致角点检测不准。换成贴在玻璃板上的标定板后，误差立刻降下来了。所以，标定板的平整度非常关键。

为了让你更直观地理解这些概念之间的关系，我画了一张图：

从这张图可以看得很清楚：世界坐标经过外参变换到相机坐标，再投影到归一化平面，最后通过内参映射到像素坐标。而畸变模型，则是在归一化平面到像素坐标这一步之间插入的校正环节。

相机标定的本质，就是求解内参、外参和畸变系数。有了这些参数，我们才能把二维图像中的像素点，反投影回三维空间，或者把三维点投影到图像上。这是所有三维重建算法的基础。

嗯，这一节的内容就到这里。记住，标定做不好，重建全白搞。下一节我们会讲具体的标定方法和工具，到时候再细聊。