4、相机标定与畸变校正：相机内参、外参、畸变模型、张正友标定法、OpenCV标定实践

相机标定，说白了就是给相机做「体检」。

你想想看，我们拿相机去拍物体，目的是要算出它真实的尺寸。但相机镜头天生就有畸变，成像平面也不是完美的。如果不做标定，你测出来的尺寸就是「虚的」。

我个人习惯，拿到一个新相机，第一件事就是标定。哪怕厂家给了参数，我也要自己跑一遍。为什么？因为每台相机都有个体差异，流水线上出来的东西，不可能一模一样。

4.1 相机内参：相机自己的「基因」

内参描述的是相机内部的光学结构。它包含四个核心参数：

• fx, fy：焦距在像素坐标系下的尺度。说白了，就是镜头把真实世界「拉近」了多少倍。
• cx, cy：主点坐标。也就是光轴穿过成像平面的那个点，理论上应该在图像正中心，但实际总有偏移。
• 畸变系数：k1, k2, k3（径向畸变），p1, p2（切向畸变）。

内参矩阵通常写成这样：

K = [[fx,  0, cx],
     [ 0, fy, cy],
     [ 0,  0,  1]]

我在项目中遇到过一台工业相机，标定出来的cx偏了20多个像素。一开始以为是标定板没放好，反复标了三次，结果都一样。后来拆开镜头一看，原来是CMOS传感器装歪了。嗯，这就是内参的意义——它告诉你相机真实的「底子」是什么样的。

4.2 相机外参：相机在空间中的「位置和姿态」

外参描述的是相机坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移。说白了，就是相机放在哪里、朝哪个方向看。

外参包含：

• 旋转矩阵 R：3x3 的正交矩阵，描述三个轴的旋转。
• 平移向量 t：3x1 的向量，描述相机在世界坐标系中的位置。

为什么外参重要？因为你要把世界坐标系中的点，投影到相机坐标系中。公式很简单：

P_cam = R * P_world + t

我曾经犯过一个低级错误：把旋转矩阵和平移向量的顺序搞反了。结果算出来的三维坐标全部是错的，排查了整整一个下午。后来我养成了一个习惯——每次标定完，先打印出外参看一眼，R矩阵的行列式是不是接近1，t向量的量级是不是合理。这能帮你快速发现标定是否失败。

4.3 畸变模型：镜头为什么「骗人」

镜头畸变主要分两种：

4.3.1 径向畸变

这是最常见的畸变。说白了，就是镜头边缘的放大率跟中心不一样。拍出来的直线会变成曲线。

• 桶形畸变：图像向外凸出，像水桶。常见于广角镜头。
• 枕形畸变：图像向内凹陷，像枕头。常见于长焦镜头。

径向畸变的数学模型：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r 是像素到主点的距离。k1, k2, k3 就是我们要标定的径向畸变系数。

4.3.2 切向畸变

这个是因为镜头和CMOS传感器没有完全平行安装造成的。说白了，就是镜头「歪了」。

切向畸变的数学模型：

x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

4.4 张正友标定法：最经典的「棋盘格标定」

张正友标定法，是1998年张正友教授提出的。它为什么经典？因为只需要拍几张棋盘格照片，就能标定出全部内参和外参。不需要昂贵的精密设备，一张打印的棋盘格就够了。

核心思路是这样的：

1. 拍摄多张不同角度的棋盘格图像（一般10-20张）。
2. 检测每张图像中的角点坐标。
3. 利用棋盘格已知的物理尺寸（比如每个格子30mm），建立世界坐标系到像素坐标系的映射关系。
4. 通过最小二乘法求解内参和外参的初始值。
5. 用非线性优化（比如Levenberg-Marquardt算法）对所有参数进行精调。

为什么需要多张不同角度的照片？因为单张照片只能解出部分参数，多张不同角度的照片才能把内参和外参「解耦」开。我一般会拍15张左右，覆盖相机的四个角落和中心区域。

4.5 OpenCV标定实践：手把手教你跑通

下面是我常用的标定流程，用OpenCV实现。代码不长，但每一步都有讲究。

4.5.1 准备标定板

打印一张棋盘格，贴在硬纸板上。格子数量建议用 9x6 或 10x7（内角点数量）。每个格子的物理尺寸要精确测量，比如 30mm x 30mm。

4.5.2 拍摄标定图像

用相机从不同角度拍摄棋盘格。注意：

• 光照要均匀，不要有反光。
• 棋盘格要清晰，不能模糊。
• 角度变化要大：俯仰、偏航、旋转都要有。
• 距离也要变化：近景、中景、远景各拍几张。

4.5.3 核心代码

import cv2
import numpy as np
import glob

# 棋盘格内角点数量（列，行）
pattern_size = (9, 6)
# 每个格子的物理尺寸（单位：mm）
square_size = 30.0

# 准备世界坐标系中的点
objp = np.zeros((pattern_size[0] * pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1, 2)
objp *= square_size

# 存储所有图像中的角点
objpoints = []  # 世界坐标系中的点
imgpoints = []  # 图像坐标系中的点

images = glob.glob('calib_images/*.jpg')

for fname in images:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    
    # 查找棋盘格角点
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        
        # 亚像素精度优化
        criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
        corners2 = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11, 11), (-1, -1), criteria)
        imgpoints.append(corners2)
        
        # 绘制角点并显示
        cv2.drawChessboardCorners(img, pattern_size, corners2, ret)
        cv2.imshow('img', img)
        cv2.waitKey(500)

cv2.destroyAllWindows()

# 执行标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)
print("重投影误差:", ret)

4.5.4 评估标定质量

标定完不能直接收工。我一般会做两件事：

• 看重投影误差：ret 值越小越好。一般小于0.5像素就算不错，小于0.3像素就是优秀。
• 做畸变校正测试：用标定结果对一张新图像做畸变校正，看看直线是不是真的变直了。

# 畸变校正
img = cv2.imread('test_image.jpg')
h, w = img.shape[:2]
newcameramtx, roi = cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx, dist, (w, h), 1, (w, h))
dst = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, newcameramtx)

# 裁剪图像（去掉校正后产生的黑边）
x, y, w, h = roi
dst = dst[y:y+h, x:x+w]

cv2.imshow('original', img)
cv2.imshow('undistorted', dst)
cv2.waitKey(0)

4.6 知识体系总览

下面这张图，是我自己总结的相机标定知识体系。你可以把它当作一个「导航图」，每次做标定前看一眼，不容易漏掉步骤。

这张图把标定的四个核心模块串起来了。内参和外参是「标定什么」，畸变模型是「为什么要校正」，张正友法是「怎么标定」，OpenCV实践是「怎么实现」。你每次做标定，都可以沿着这个流程走一遍。

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