第2章相机几何基础

2、相机几何基础：针孔相机模型、内参矩阵、外参矩阵、畸变模型

各位同学，咱们今天聊聊相机几何。这是三维视觉的基石，说白了就是搞明白「相机是怎么看到世界的」。

我刚开始做SLAM那会儿，总觉得相机几何就是一堆矩阵乘法，没啥意思。直到有一次在室外跑数据集，发现地图点全飘了，折腾了两天才发现是畸变参数没标对……嗯，从那以后我再也不敢小看这部分了。

先说说针孔相机模型。你想想看，一个暗箱，前面戳个小孔，光线穿过小孔在后面的胶片上成像——这就是最原始的相机。

数学上怎么描述？很简单，就是相似三角形。假设世界中有个点 P = [X, Y, Z]ᵀ，它通过小孔投影到成像平面上，得到像素坐标 [u, v]ᵀ。关系是这样的：

u = f * X / Z + c_x
v = f * Y / Z + c_y

这里的 f 是焦距，c_x、c_y 是光心偏移。说白了，就是把三维点「压」到二维平面上。

核心理解：针孔模型本质是一个透视投影，近大远小。Z 值越小，投影后物体越大；Z 值越大，物体越小。这也是单目相机无法直接恢复绝对尺度的根本原因。

内参矩阵，我习惯叫它 K 矩阵。它描述了相机内部的几何属性，包括焦距、光心位置，还有像素的歪斜程度。

数学形式长这样：

K = [f_x,  s,  c_x;
     0,   f_y, c_y;
     0,    0,   1 ]

各参数含义：

我在项目中遇到过一件事：用手机拍了一组照片做三维重建，结果重建出来的模型总是扭曲的。查了半天，发现是内参矩阵里的 c_x、c_y 没更新——手机裁剪了图像，但参数还是原来的。嗯，这里要注意：图像裁剪或缩放后，内参必须重新计算。

个人经验：标定内参时，我建议至少拍 20 张不同角度的棋盘格照片。太少的话，标定结果不稳定，尤其是边缘区域的畸变参数容易跑偏。

外参矩阵描述的是相机在世界坐标系中的位置和朝向。它由旋转矩阵 R 和平移向量 t 组成。

数学形式：

[R | t]  是一个 3×4 的矩阵

它的作用是把世界坐标系下的点，变换到相机坐标系下。说白了就是：世界点 → 相机点。

举个例子：

P_cam = R * P_world + t

这里 R 是 3×3 的旋转矩阵，t 是 3×1 的平移向量。R 和 t 合起来有 6 个自由度（3 个旋转角 + 3 个平移量），所以也叫 6DoF 位姿。

我曾经犯过一个低级错误：把 R 和 t 的顺序搞反了。在代码里写成了 P_cam = t + R * P_world，结果重建出来的点云全跑到相机后面去了……调试了一下午才发现。所以我的建议是：写代码时统一用齐次坐标，避免顺序混淆。

避坑指南：外参矩阵的坐标系定义一定要统一。有的库用「相机→世界」，有的用「世界→相机」。搞混了，整个系统都会崩。我习惯用「世界→相机」的约定，OpenCV 和大部分 SLAM 系统也是这么用的。

现实中的镜头不是完美的针孔。光线经过透镜时会发生弯曲，导致图像变形。这就是畸变。

畸变主要分两类：

数学上，畸变模型通常用多项式来描述：

x_distorted = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + 2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)
y_distorted = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶) + p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y

其中：

为什么会这样？因为透镜的曲率不是完美的球面，尤其是广角镜头，边缘畸变特别明显。我做过一个项目，用鱼眼镜头做室内重建，如果不做畸变校正，墙壁的直线在图像里全是弯的，重建出来的平面也是曲面。

关键点：畸变校正必须在投影之前做。流程是：原始图像 → 畸变校正 → 投影到像素坐标。顺序错了，结果全错。

下面我用一张图来总结本章的核心逻辑。你看，从世界坐标到像素坐标，中间经历了三次变换：

你看，整个流程其实就三步：

这三步缺一不可。我见过不少初学者，拿着相机直接拍，不做畸变校正就开始做特征匹配，结果匹配出来的点全是歪的。嗯，这里要记住：畸变校正是预处理的第一步。

实用建议：在实际项目中，我习惯用 OpenCV 的 cv::calibrateCamera() 做标定，它会同时输出内参和畸变参数。标定完成后，用 cv::undistort() 对图像做校正。这样后续的特征提取、匹配都会稳定很多。

好了，相机几何的基础就讲到这里。这些内容虽然看起来简单，但它们是整个三维视觉的根基。后面的章节里，我们会反复用到这些概念——特征匹配、对极几何、三角化、PnP……每一个都离不开今天讲的这些东西。