第二章：三维空间基础
各位同学，今天我们来聊聊三维空间的基石。说实话，我见过太多新手一上来就扎进渲染管线、光照模型，结果连坐标系都没搞明白，最后 debug 到崩溃。嗯，咱们先把地基打牢。
2.1 坐标系：从世界到屏幕的旅程
三维空间里，坐标系就是我们的「度量衡」。你想想看，没有统一的坐标系，AR 里的虚拟物体和现实世界根本对不上。我早期做的一个 AR 项目，就因为坐标系没对齐，虚拟茶壶直接飘到了天花板上——那场面，挺尴尬的。
2.1.1 世界坐标系
世界坐标系是全局的参考系。它固定不动，所有物体都相对于它定义位置。在 AR/VR 里，世界坐标系通常以场景中心为原点，或者以用户初始位置为原点。
- 右手系 vs 左手系：OpenGL 用右手系，DirectX 用左手系。我个人习惯用右手系，因为数学上更直观。
- 单位：一般用米。别问为什么，问就是物理世界用米，AR 要跟现实对齐。
2.1.2 相机坐标系
相机坐标系是以相机为原点的坐标系。说白了，就是「从相机眼里看世界」。Z 轴指向相机前方，X 轴向右，Y 轴向上。
这里有个坑：相机坐标系和世界坐标系之间的转换。我曾经在项目里直接用相机的位置作为原点，结果旋转时物体全飞了。后来才意识到，得用 view matrix 来做转换。
2.1.3 图像坐标系
图像坐标系是二维的，对应屏幕上的像素位置。它从相机坐标系投影而来，涉及内参矩阵（焦距、主点等）。
核心公式：从世界坐标到像素坐标的完整流程
世界坐标 → 相机坐标 (view matrix)
相机坐标 → 归一化设备坐标 (projection matrix)
归一化设备坐标 → 像素坐标 (viewport transform)2.2 刚体变换：旋转、平移、缩放
刚体变换，说白了就是「不改变物体形状的移动」。你拿着手机转一转，那就是刚体变换。我做过一个 VR 手柄追踪的项目，刚体变换算不准，手柄就在空中乱晃——用户玩五分钟就晕了。
2.2.1 平移
平移最简单，就是加一个位移向量。在齐次坐标下，用 4x4 矩阵表示：
| 1 0 0 tx |
| 0 1 0 ty |
| 0 0 1 tz |
| 0 0 0 1 |2.2.2 旋转
旋转稍微复杂点。绕 X、Y、Z 轴旋转的矩阵，大家应该都见过。但要注意：旋转顺序很重要。先绕 X 再绕 Y，和先绕 Y 再绕 X，结果完全不同。
我建议用 RPY（Roll-Pitch-Yaw） 顺序，也就是绕 Z、Y、X 轴依次旋转。这是航空领域的标准，AR/VR 里也常用。
2.2.3 缩放
缩放分两种：均匀缩放和非均匀缩放。均匀缩放就是整体放大缩小，非均匀缩放可以拉长压扁。在 AR 里，我一般只用均匀缩放，不然虚拟物体看起来会「变形」。
小技巧：如果你要做非均匀缩放，记得先缩放再旋转。否则旋转后的物体，缩放方向会跟着变，结果很难控制。
2.3 四元数与欧拉角
说到旋转表示，就不得不提四元数和欧拉角。这两个东西，我当年学的时候也绕了很久。咱们慢慢来。
2.3.1 欧拉角
欧拉角用三个角度表示旋转：偏航（Yaw）、俯仰（Pitch）、滚转（Roll）。直观，好理解。但有个大问题——万向锁。
什么是万向锁？当俯仰角达到 ±90° 时，偏航和滚转就「锁」在一起了，丢失一个自由度。我在做无人机仿真时遇到过，飞机翻了个跟头，姿态直接崩了。嗯，那感觉，就像你开车时方向盘突然失灵。
避坑指南：如果你用欧拉角做插值（比如平滑旋转），一定会遇到万向锁。我曾经花了两天 debug，最后发现是欧拉角的问题。从那以后，我只要涉及插值，一律用四元数。
2.3.2 四元数
四元数用四个数表示旋转：一个实部 + 三个虚部。形式是 q = w + xi + yj + zk，其中 w 是实部，x、y、z 是虚部。
四元数的好处：
- 无万向锁：这是最大的优势
- 插值平滑：用球面线性插值（SLERP），旋转过渡非常自然
- 计算高效：比矩阵快，比欧拉角稳定
但四元数也有缺点：不直观。你看着 (0.707, 0, 0.707, 0) 这个四元数，能想象出它代表什么旋转吗？反正我不能。所以实际开发中，我通常用欧拉角做输入，内部转成四元数计算，最后再转回欧拉角显示。
2.3.3 转换关系
| 表示方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 欧拉角 | 直观、易理解 | 万向锁、插值困难 | 用户输入、调试显示 |
| 四元数 | 无万向锁、插值平滑 | 不直观、难调试 | 内部计算、动画插值 |
| 旋转矩阵 | 通用、易组合 | 占用内存大、计算慢 | 渲染管线、坐标变换 |
2.4 知识体系总览
下面这张图，是我自己总结的三维空间基础的知识结构。你把它记在心里，后面学渲染、学追踪、学 SLAM，都会用到。
2.5 实战建议
好了，理论讲完了。说点实际的。
第一，别自己手写矩阵运算。 除非你在做学术研究，否则直接用现成的库。Unity 有 Matrix4x4，Unreal 有 FMatrix，OpenCV 有 cv::Mat。自己写？我试过，bug 多到怀疑人生。
第二，调试时把坐标可视化。 在场景里画三个箭头表示坐标轴，画一个网格表示地面。这样你一眼就能看出物体在哪、朝向哪。我每次做新项目，第一件事就是画坐标轴。
第三，四元数一定要用单位四元数。 非单位四元数会导致缩放变形。我曾经在 VR 项目里，因为四元数没归一化，虚拟手越转越大，最后比人还大——用户吓得直接摘了头显。
我的习惯：每次创建或修改四元数后，立刻调用 normalize()。别偷懒，这行代码能救你命。
嗯，这一章的内容就到这。坐标系、刚体变换、四元数与欧拉角，这三块是三维空间的基石。你把它吃透了，后面学相机标定、三维重建、SLAM，都会轻松很多。