3、坐标系与变换：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系，以及刚体变换与投影变换

做三维重建这些年，我踩过最大的坑，就是坐标系搞混了。

你想想看，一个点在世界里好好的，经过相机一照，再落到图像上，最后变成像素坐标——这中间经历了四次变换。哪一步搞错了，重建出来的模型就是歪的。今天咱们就把这四层坐标系和它们之间的变换关系，彻底捋清楚。

3.1 四个坐标系，一个都不能少

我个人习惯把这四个坐标系想象成一条流水线：

1. 世界坐标系 (World Coordinate System) —— 真实世界的绝对坐标。你放一个物体在房间里，它的位置就是世界坐标。单位一般是米或毫米。
2. 相机坐标系 (Camera Coordinate System) —— 以相机光心为原点，Z轴指向相机前方。说白了，就是「相机眼里的世界」。
3. 图像坐标系 (Image Coordinate System) —— 在成像平面上，以光轴与平面的交点为原点，单位是毫米。这是物理层面的图像。
4. 像素坐标系 (Pixel Coordinate System) —— 就是我们最终看到的图像，原点在左上角，单位是像素。

嗯，这里要注意：从世界到像素，每一步都是「有损」的。尤其是从三维到二维，深度信息直接丢了。这就是为什么重建需要多张图或者深度传感器。

3.2 刚体变换：世界 → 相机

从世界坐标系到相机坐标系，用的是刚体变换。说白了就是旋转加平移，不改变物体的形状和大小。

公式长这样：

P_cam = R * P_world + T

其中 R 是 3x3 旋转矩阵，T 是 3x1 平移向量。

我在项目中遇到过一个问题：用 OpenCV 的 Rodrigues 函数把旋转向量转成矩阵时，方向搞反了。结果重建出来的点云，整个场景像被拧麻花一样。后来我养成了一个习惯——每次做完变换，先拿一个已知点验证一下。

3.3 投影变换：相机 → 图像

这一步是三维到二维的关键。用的是针孔相机模型，说白了就是相似三角形。

公式：

x = f * X_cam / Z_cam
y = f * Y_cam / Z_cam

这里 f 是焦距，单位是毫米。X_cam、Y_cam、Z_cam 是相机坐标系下的坐标。

你可能会问：为什么是除以 Z？因为远处的物体看起来小，近处的看起来大。这个除法就是透视效果的数学本质。

3.4 离散化：图像 → 像素

图像坐标系是连续的（毫米），像素坐标系是离散的（像素）。转换很简单：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中 dx、dy 是每个像素的物理尺寸，u0、v0 是图像中心点的像素坐标。

这里有个细节：像素坐标系的原点在左上角，u 轴向右，v 轴向下。而图像坐标系的原点在中心。这个偏移很多人会忘。

坐标系	原点	单位	维度
世界坐标系	自定义	米/毫米	3D
相机坐标系	光心	米/毫米	3D
图像坐标系	光轴与像平面交点	毫米	2D
像素坐标系	图像左上角	像素	2D

3.5 合在一起：相机内参和外参

把上面三步串起来，就得到了完整的投影方程：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | T] * [X_w, Y_w, Z_w, 1]^T

这里：

• K 是内参矩阵（包含 fx, fy, u0, v0）
• [R | T] 是外参矩阵（刚体变换）
• s 是尺度因子（就是 Z_cam）

内参是相机的固有属性，标定一次就能用很久。外参每次换位置都得重新算。

3.6 知识体系总览

下面这张图，是我自己整理的四坐标系变换流程。每次做项目前，我都会看一眼，防止自己走偏。

3.7 实战中的几点提醒

• 坐标系方向：不同软件对坐标轴的定义不一样。OpenCV 的相机坐标系是 Z 轴向前，而某些引擎是 Z 轴向上。导入导出时一定要确认。
• 单位统一：世界坐标用毫米，内参的焦距也是毫米，像素尺寸也是毫米。单位不一致，结果全乱套。
• 齐次坐标：用齐次坐标可以把旋转和平移统一成一个矩阵，计算起来方便很多。建议你代码里全程用齐次坐标。

好了，坐标系和变换这部分，说白了就是「从三维世界到二维照片」的数学映射。搞懂了它，三维重建的骨架你就搭起来了。

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