一、相机模型与成像原理

大家好，我是你们这门课的主讲。今天咱们聊聊相机模型，这是整个多视图几何的基石。说白了，就是搞明白「世界上的一个点，是怎么跑到照片上的那个像素位置去的」。

我刚开始做3D重建那会儿，觉得相机模型太简单了，不就是小孔成像嘛。结果第一次标定相机，出来的内参矩阵奇奇怪怪，重建的模型歪七扭八。嗯，后来老老实实把每个坐标系捋了一遍，才算是真正入了门。

1.1 针孔相机模型

先看最经典的模型——针孔相机。你想想看，一个暗箱，前面戳个小孔，光线穿过小孔，在后面的胶片上成像。这就是最朴素的成像原理。

数学上怎么描述？假设世界中有个点 P，坐标为 (X, Y, Z)。它通过小孔（光心）后，在成像平面上形成点 p，坐标为 (x, y)。根据相似三角形：

x = f * (X / Z)
y = f * (Y / Z)

这里的 f 是焦距，也就是小孔到成像平面的距离。注意，这个模型有个特点：成像是倒立的。不过在实际的相机中，传感器会帮你把图像正过来，所以我们通常假设成像平面在光心前方，这样计算更方便。

1.2 相机内参矩阵

刚才的公式 (x, y) 还是物理坐标（单位是毫米），但我们要的是像素坐标（单位是像素）。这就需要一个转换——从物理世界到像素世界的桥梁，就是内参矩阵 K。

内参矩阵长这样：

K = [ fx   0   cx
      0   fy   cy
      0    0    1 ]

其中：

• fx, fy：分别是 x 和 y 方向的焦距（以像素为单位）。为什么有两个？因为传感器像素可能不是正方形，或者有缩放。
• cx, cy：主点坐标，也就是光轴与成像平面的交点。理想情况下在图像中心，但实际会有偏移。

我个人习惯把内参矩阵理解为「相机自己的身份证」。每个相机都有自己独一无二的内参，它决定了空间中的点怎么映射到像素坐标。我在项目中遇到过一台工业相机，标定后发现 cx 偏离中心十几个像素，一开始以为是标定出错了，后来查手册才知道是传感器封装时就有偏移。

1.3 相机外参矩阵

内参管的是「相机内部怎么成像」，外参管的是「相机在世界上什么位置、朝哪个方向看」。外参矩阵由两部分组成：旋转矩阵 R 和 平移向量 t。

外参矩阵通常写成 4×4 的齐次形式：

[ R | t ]
[ 0 | 1 ]

它的作用是把世界坐标系中的点，变换到相机坐标系中。举个例子：你站在天安门广场拍照，你的相机位置就是 t，你转头的角度就是 R。不同位置、不同角度拍同一个建筑，外参就不一样。

我曾经犯过一个低级错误：把旋转矩阵和平移向量的顺序搞反了。结果重建出来的点云，所有物体都跑到相机后面去了。排查了半天才发现是外参矩阵的乘法顺序错了。嗯，这里要注意：先旋转，再平移，顺序不能乱。

1.4 世界坐标系到像素坐标的完整映射

把上面所有步骤串起来，一个世界点 P_w 到像素点 p 的完整流程是：

1. 世界 → 相机：P_c = R * P_w + t
2. 相机 → 归一化平面：x_n = X_c / Z_c, y_n = Y_c / Z_c
3. 归一化平面 → 像素：u = fx * x_n + cx, v = fy * y_n + cy

写成矩阵形式就是：

p = K * [R | t] * P_w

这个公式，我建议你刻在脑子里。整个多视图几何，从三角测量到光束法平差，全是在这个公式的基础上做文章。

1.5 镜头畸变模型

现实中的镜头不是完美的针孔。为了收集更多光线、减少像差，镜头会引入畸变。最常见的两种是：

• 径向畸变：光线经过透镜边缘时弯曲得更厉害，导致图像边缘的直线变弯。分为桶形畸变（负）和枕形畸变（正）。
• 切向畸变：镜头和传感器不平行，导致图像倾斜。

畸变模型通常用多项式来描述：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

其中 k1, k2, k3 是径向畸变系数，p1, p2 是切向畸变系数。r 是点到主点的距离。

我记得第一次做鱼眼相机标定，畸变系数 k1 大得离谱，校正后的图像边缘像被揉过的纸。后来发现鱼眼相机需要特殊的畸变模型（比如等距投影模型），不能用普通的多项式模型硬套。

1.6 相机标定基础

标定，说白了就是求内参和畸变系数。最经典的方法是张正友标定法，用棋盘格标定板，拍十几张不同角度的照片，然后解方程。

标定的基本步骤：

1. 打印一张棋盘格标定板，贴在平面上
2. 用相机从不同角度拍摄 10-20 张照片
3. 检测每张照片中的角点坐标
4. 利用角点的世界坐标（已知）和像素坐标（检测得到），求解内参和畸变

这里有个关键点：标定板必须平整。我见过有人把标定板贴在弯曲的纸箱上，标定出来的内参全是错的。还有，照片要覆盖整个视场，尤其是边缘区域，否则畸变参数估计不准。

标定完成后，你会得到内参矩阵 K 和畸变系数 (k1, k2, k3, p1, p2)。有了这些，你就可以对任意一张图像做畸变校正，然后进行后续的 3D 重建工作了。

好了，这一章的内容就到这里。相机模型是基础中的基础，后面的三角测量、PnP、光束法平差，全都建立在这个框架之上。建议你动手写一段代码，用 OpenCV 标定一下自己的手机相机，感受一下从世界坐标到像素坐标的完整流程。

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