3. 投影仪模型与标定：逆相机模型、内参标定与联合标定

好，我们进入第三章。这一章讲的是投影仪的模型和标定。说实话，很多做结构光的朋友，一开始都把精力放在相机标定上，觉得投影仪嘛，就是个投光的工具。但真正做过系统的人都知道——投影仪才是整个系统的“灵魂”。它的精度，直接决定了三维重建的上限。

我个人习惯把投影仪看作一个“反向的相机”。你想想看，相机是把三维世界拍成二维图像，而投影仪是把二维图案投射到三维空间。这个思路，就是所谓的“逆相机模型”。

3.1 投影仪逆相机模型

为什么说投影仪是“逆相机”？我们来拆解一下。

一个标准的相机模型，包含以下几步：

1. 世界坐标系下的三维点 P_w
2. 通过外参（旋转 R、平移 t）变换到相机坐标系 P_c
3. 通过内参（焦距 f_x, f_y，主点 c_x, c_y）投影到像素坐标系 (u, v)
4. 加上畸变（径向、切向）得到实际像素坐标

投影仪呢？它正好反过来：

1. 我们有一个投影仪像素坐标 (u_p, v_p)
2. 通过投影仪内参，反算出它在投影仪坐标系下的方向
3. 再通过投影仪外参，把这个方向变换到世界坐标系

说白了，投影仪就是一个“发射光线”的设备，而相机是“接收光线”的设备。数学上，它们共用同一套透视投影模型。

3.2 投影仪内参标定方法

投影仪不能自己“看”东西，那怎么标定它的内参呢？

常用的方法是“相机辅助标定法”。流程是这样的：

1. 准备一个棋盘格标定板
2. 投影仪向标定板投射编码图案（比如格雷码、相移条纹）
3. 相机拍摄标定板上的投影图案
4. 通过解码，得到投影仪像素坐标 (u_p, v_p) 与标定板物理点之间的对应关系
5. 把这些对应关系喂给张正友标定法，就能算出投影仪内参

这里的关键是：如何建立投影仪像素与标定板物理点的对应？

我常用的做法是：

• 投射水平和垂直的相移条纹，分别得到投影仪像素的 u 和 v 坐标
• 同时拍摄标定板，用角点检测得到标定板上的物理点坐标
• 两者结合，就得到了一组“虚拟的”投影仪-标定板对应点

代码实现上，核心步骤大致如下：

// 伪代码：投影仪内参标定
for each pose:
    // 1. 投射并拍摄相移条纹
    capture_phase_images();
    
    // 2. 解相位，得到投影仪坐标
    up = decode_horizontal_phase();
    vp = decode_vertical_phase();
    
    // 3. 检测标定板角点
    board_points = detect_chessboard_corners();
    
    // 4. 建立对应关系
    correspondences.push_back({up, vp}, board_points);

// 5. 调用张正友标定
projector_intrinsics = calibrate(correspondences);

3.3 结构光系统联合标定（相机-投影仪）

标定完相机和投影仪各自的内参后，下一步就是联合标定。说白了，就是求出相机和投影仪之间的相对位姿（旋转矩阵 R 和平移向量 t）。

联合标定的流程：

1. 相机和投影仪同时观察同一个标定板
2. 相机直接看到标定板角点，得到相机坐标系下的位姿
3. 投影仪通过投射图案，“看到”标定板角点，得到投影仪坐标系下的位姿
4. 利用两组位姿，求解相机-投影仪之间的 R 和 t

数学上，这是一个典型的手眼标定问题：

P_cam = R * P_proj + t

其中 P_cam 和 P_proj 是同一个物理点在相机坐标系和投影仪坐标系下的坐标。

我一般用最小二乘法来求解，采集10-15组不同位姿的数据，然后用 SVD 分解得到最优的 R 和 t。

3.4 标定精度评估

标定完了，怎么知道标得好不好？不能光看重投影误差，那个太理想化了。

我通常用以下几个指标：

指标	说明	我的经验阈值
重投影误差	标定板角点的重投影像素误差	< 0.5 pixel
平面拟合误差	重建一个平面，计算点到平面的距离	< 0.1 mm
球体拟合误差	重建一个标准球，计算球度误差	< 0.2 mm
重复性	多次标定，看内参和位姿的方差	焦距变化 < 0.5%

我个人最看重的是平面拟合误差。为什么呢？因为结构光系统最常用的场景就是测量平面物体（比如电路板、玻璃面板）。如果连平面都重建不平，那其他复杂形状就更不用说了。

具体做法：

• 放一块高精度陶瓷平板在测量区域
• 用标定好的系统重建这个平面
• 用最小二乘法拟合一个理想平面
• 计算所有重建点到这个理想平面的距离
• 统计 RMS 和最大偏差

如果 RMS 超过 0.1 mm，我建议重新标定。嗯，这个标准可能有点严，但对于高精度工业检测来说，这是必须的。

好了，这一章就到这里。下一章我们会讲结构光编码策略——怎么设计投影图案，才能又快又准地重建三维信息。到时候见。

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