4. 光线追迹基础：斯涅尔定律的向量形式、光线与自由曲面求交算法（牛顿迭代法）、光线微分方程

光线追迹，说白了就是模拟光线怎么走。做自由曲面设计，这步要是搞不清楚，后面全是空中楼阁。我刚开始接触自由曲面那会儿，总觉得光线追迹是现成工具的事，自己写代码纯属浪费时间。直到有一次，一个非序列系统怎么调都追不准，我才老老实实把底层逻辑啃了一遍。

嗯，今天咱们就聊聊光线追迹的三个核心：斯涅尔定律怎么用向量算、光线和自由曲面怎么求交、以及光线微分方程到底在说什么。

4.1 斯涅尔定律的向量形式

传统教材里，斯涅尔定律长这样：n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂。但在自由曲面里，我们面对的是任意方向的入射光和任意朝向的曲面法线。这时候，向量形式才是王道。

我个人习惯用这个形式：

n₁ (I × N) = n₂ (T × N)

其中 I 是入射光方向单位向量，T 是折射光方向单位向量，N 是法线单位向量。叉积代表什么？代表光线和法线构成的平面。说白了，折射光、入射光和法线必须在同一个平面内。

但实际计算时，我们更常用的是这个形式：

T = (n₁/n₂) I + [ - (n₁/n₂) (I·N) + sqrt(1 - (n₁/n₂)² (1 - (I·N)²)) ] N

看着复杂，其实逻辑很简单：折射光 = 入射光在切向的分量 + 法向分量的修正。我在项目中遇到过一个问题——当根号里面是负数时，说明发生了全反射。这时候光线就出不去了。

反射的向量形式更简单：

R = I - 2 (I·N) N

你想想看，反射其实就是把入射光在法线方向的分量反向，切向分量不变。这个公式我闭着眼睛都能写出来，因为太常用了。

4.2 光线与自由曲面求交算法

自由曲面没有解析表达式，没法像球面那样直接解二次方程。怎么办？牛顿迭代法。

基本思路是这样的：

1. 给一个初始猜测点 P₀
2. 计算 P₀ 到曲面的有符号距离 f(P₀)
3. 如果 |f(P₀)| 小于阈值，认为找到了交点
4. 否则，沿梯度方向更新：P₁ = P₀ - f(P₀) / (∇f(P₀) · D)

其中 D 是光线方向，∇f 是曲面的梯度（也就是法线方向）。

我曾经踩过一个坑：初始点选得太远，牛顿迭代直接发散。后来我学乖了，先用包围盒做粗筛，再用牛顿迭代精修。

代码实现大概是这样的：

def ray_surface_intersection(ray_origin, ray_dir, surface_func, grad_func, tol=1e-8, max_iter=20):
    # 初始猜测：沿光线方向走一步
    t = 0.1
    for i in range(max_iter):
        P = ray_origin + t * ray_dir
        f = surface_func(P)
        if abs(f) < tol:
            return P, t
        grad = grad_func(P)
        # 沿梯度方向修正
        dt = f / (np.dot(grad, ray_dir) + 1e-12)
        t = t - dt
        if abs(dt) < tol:
            return P, t
    # 迭代不收敛
    return None, None

这里有个细节：分母加了个小量 1e-12，防止除零。光线和曲面相切的时候，梯度方向和光线方向垂直，点积为零。这种情况虽然少见，但遇到了就是大麻烦。

4.3 光线微分方程

光线微分方程描述的是光线在非均匀介质中的传播路径。说白了，就是光线在折射率连续变化的空间里怎么走。

方程长这样：

d/ds (n dr/ds) = ∇n

其中 s 是光程，r 是位置向量，n 是折射率。这个方程的意思是：光线会朝折射率增大的方向弯曲。你想想看，海市蜃楼就是这个原理——空气温度不同导致折射率变化，光线就弯了。

在自由曲面设计中，我们通常假设介质是均匀的（空气或玻璃），所以 ∇n = 0。这时候方程退化为：

d²r/ds² = 0

说白了就是直线传播。但如果你做渐变折射率透镜（GRIN lens），这个方程就派上用场了。

我记得有一次做自由曲面导光板设计，需要模拟光线在微结构中的传播。一开始我用直线近似，结果和实验对不上。后来老老实实解光线微分方程，才把问题搞定。

4.4 知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。从光线出发，经过曲面求交，再通过斯涅尔定律计算折射/反射，最后更新光线状态。循环往复，就是完整的光线追迹。

这张图里，我把整个流程分成了四个阶段。你从「光线出发」开始，经过「曲面求交」找到交点，再用「斯涅尔定律」算出新方向，最后「更新光线状态」。如果光线还没出射，就继续循环。

我个人觉得，初学者最容易卡在「曲面求交」这一步。因为自由曲面没有标准方程，每次都要自己写求交函数。我的建议是：先把球面和平面的求交写熟，再扩展到自由曲面。一步一步来，别想一口吃成胖子。

好了，这一章的内容就到这儿。光线追迹是自由曲面设计的基石，后面的优化、公差分析都建立在这之上。把这些基础打牢，后面会轻松很多。