3. 状态空间方程：连续系统与离散系统、状态方程与观测方程的建立

好，咱们今天聊点硬核的。状态空间方程，说白了就是给电池建一个数学模型。你想想看，电池内部那些化学反应，我们没法直接拿万用表去量。那怎么办？用数学语言描述它。

我个人习惯把这件事分成两步走：先搞清楚系统是连续的还是离散的，再分别建立状态方程和观测方程。这两步走对了，后面的卡尔曼滤波才能跑得稳。

3.1 连续系统 vs 离散系统

先问一个问题：电池的SOC是连续变化的吗？

答案是肯定的。你开车的时候，电池电量是平滑下降的，不会跳变。所以从物理本质上看，SOC是一个连续系统。

但是，我们的单片机是数字芯片。它只能每隔一段时间采集一次数据，比如每100ms读一次电压、电流。这就意味着，我们实际上是在离散的时间点上处理问题。

所以，我一般这样理解：

• 连续系统：用微分方程描述，适合理论推导
• 离散系统：用差分方程描述，适合代码实现

我在项目中遇到过一个问题：有人直接用连续模型写代码，结果采样周期一变，滤波就发散。嗯，这里要注意——离散化这一步不能省。

3.2 状态方程：描述系统内部状态的变化

状态方程，说白了就是回答一个问题：下一时刻的SOC是多少？

对于电池来说，最简单的状态方程就是安时积分法：

SOC(k+1) = SOC(k) - (η * Δt / Q) * I(k) + w(k)

其中：

• SOC(k)：当前时刻的SOC
• SOC(k+1)：下一时刻的SOC
• η：库仑效率（充电时约1.0，放电时约0.98-0.99）
• Δt：采样周期（比如0.1秒）
• Q：电池总容量（单位：Ah）
• I(k)：当前时刻的电流（放电为正）
• w(k)：过程噪声（模型误差、电流测量误差等）

写成矩阵形式更通用：

x(k+1) = A * x(k) + B * u(k) + w(k)

对于单状态SOC模型：

• x(k) = [SOC(k)]
• A = [1]
• B = [-η * Δt / Q]
• u(k) = [I(k)]

3.3 观测方程：建立测量值与状态的关系

状态方程告诉我们SOC怎么变，但我们没法直接测SOC。我们能测的是什么呢？端电压。

观测方程就是建立端电压与SOC之间的关系。

最简单的模型是开路电压法：

V(k) = OCV(SOC(k)) - R0 * I(k) + v(k)

其中：

• V(k)：端电压测量值
• OCV(SOC)：开路电压与SOC的关系曲线（通常通过实验标定）
• R0：电池内阻
• I(k)：电流
• v(k)：观测噪声（电压测量误差、模型误差等）

写成矩阵形式：

y(k) = C * x(k) + D * u(k) + v(k)

对于单状态模型：

• y(k) = [V(k)]
• C = [∂OCV/∂SOC]（在SOC(k)处的斜率）
• D = [-R0]
• u(k) = [I(k)]

3.4 完整的状态空间模型

把状态方程和观测方程放在一起，就是完整的电池模型：

状态方程：SOC(k+1) = SOC(k) - (η * Δt / Q) * I(k) + w(k)
观测方程：V(k) = OCV(SOC(k)) - R0 * I(k) + v(k)

这个模型虽然简单，但已经能跑卡尔曼滤波了。我刚开始做项目时就用这个模型，效果还不错。

当然，如果你想要更高精度，可以增加状态变量，比如：

• 增加极化电压状态（RC网络）
• 增加容量衰减状态
• 增加温度影响

但记住一个原则：模型越复杂，计算量越大，调试越难。我建议先从简单模型开始，跑通了再逐步加复杂度。

3.5 知识体系结构图

下面这张图总结了本章的核心逻辑：

3.6 小结

这一章我们干了三件事：

1. 区分了连续系统和离散系统——物理世界是连续的，单片机世界是离散的
2. 建立了状态方程——用安时积分法描述SOC的变化规律
3. 建立了观测方程——用OCV曲线和内阻模型描述端电压与SOC的关系

有了这两个方程，卡尔曼滤波的骨架就有了。下一章我们会往这个骨架上填肉——把卡尔曼滤波的五个核心公式套进来。