4. 多旋翼动力学建模：电机推力模型、力矩模型、刚体动力学方程（牛顿-欧拉法）

各位同学，欢迎来到第四章。这一章，我们要啃一块硬骨头——多旋翼的动力学建模。

说实话，很多做飞控的朋友，一上来就调PID参数，模型什么的根本不看。我个人觉得，这其实是个误区。你想想看，MPC控制器的核心就是“基于模型做预测”。模型不准，你的预测就是瞎猜。我在项目里见过太多这样的案例：调了一周参数，换个负载或者换个桨叶，飞机就开始抖。说白了，就是模型没建好。

这一章，我会带着大家把电机推力、力矩、以及刚体动力学方程，一步步拆开。别怕公式，我会用大白话讲清楚每个符号的物理意义。

4.1 电机推力模型

先聊聊最基础的——电机怎么产生升力？

多旋翼的升力，说白了就是螺旋桨旋转，把空气往下推，根据牛顿第三定律，飞机就被往上推了。这个力的大小，跟转速的平方成正比。这是经验公式，也是工程上最常用的模型。

我习惯用下面这个公式：

F_i = C_T * ρ * n_i² * D⁴

其中：

• F_i：第 i 个电机的推力（单位：N）
• C_T：推力系数（无量纲，由桨叶形状决定）
• ρ：空气密度（kg/m³，海拔越高越小）
• n_i：电机转速（rps，转每秒）
• D：螺旋桨直径（m）

嗯，这里要注意，实际工程中我们很少直接用这个公式。为什么？因为C_T和ρ很难精确测量。我一般会把它简化成：

F_i = k_f * ω_i²

这里的k_f是综合推力系数，包含了C_T、ρ、D⁴等所有常数。ω_i是电机的角速度（rad/s）。这个k_f怎么来？很简单，拿个拉力计，测一组转速和推力的数据，拟合一下就出来了。

4.2 力矩模型

电机不光产生推力，还会产生力矩。这个力矩主要来自两个方面：

1. 反扭矩：电机旋转时，空气对桨叶的阻力会反作用到电机上，让机身想往反方向转。
2. 陀螺力矩：当飞机做俯仰或滚转时，高速旋转的电机和桨叶会产生陀螺效应，阻碍你改变姿态。

先看反扭矩。它的模型跟推力很像，也是跟转速平方成正比：

M_i = k_m * ω_i²

这里的k_m是反扭矩系数。注意，这个力矩的方向跟电机旋转方向相反。所以四旋翼里，我们让相邻两个电机正反转，就是为了抵消反扭矩。

再说陀螺力矩。这个在快速机动时特别明显。我记得有一次做高速避障测试，飞机突然急转弯，结果姿态角超调了20度。查了半天，就是陀螺力矩没补偿好。陀螺力矩的公式是：

M_gyro = J_rotor * (ω_body × ω_rotor)

其中J_rotor是电机转子的转动惯量，ω_body是机体的角速度，ω_rotor是电机的自转角速度。这个叉乘意味着，陀螺力矩的方向总是垂直于机体角速度和电机自转轴。

4.3 刚体动力学方程（牛顿-欧拉法）

好了，有了力和力矩，我们就可以写飞机的运动方程了。这里用的是经典的牛顿-欧拉法。说白了，就是牛顿第二定律的升级版：

• 牛顿方程：描述平动（位置变化）
• 欧拉方程：描述转动（姿态变化）

4.3.1 牛顿方程（平动）

在地面坐标系（惯性系）下，飞机的平动方程是：

m * a = F_gravity + F_thrust + F_drag

展开写就是：

m * d²r/dt² = m * g + R * (ΣF_i) + F_drag

这里：

• m：飞机总质量
• r：位置向量（x, y, z）
• g：重力加速度向量（一般是[0, 0, -9.81]）
• R：从机体坐标系到地面坐标系的旋转矩阵（由欧拉角或四元数决定）
• ΣF_i：所有电机推力在机体坐标系下的合力
• F_drag：空气阻力（高速飞行时不能忽略）

你想想看，这个方程告诉我们什么？飞机要往上飞，推力必须大于重力。要往前飞，就得倾斜机身，让推力有个水平分量。这就是多旋翼的基本控制逻辑。

4.3.2 欧拉方程（转动）

转动方程稍微复杂一点。在机体坐标系下，欧拉方程是：

J * dω/dt + ω × (J * ω) = M_total

其中：

• J：飞机的转动惯量矩阵（3x3，一般假设为对角阵）
• ω：机体角速度向量（p, q, r）
• M_total：所有外力矩之和（包括反扭矩、陀螺力矩、控制力矩）

这个方程里，ω × (J * ω)这一项就是陀螺力矩的体现。它让飞机的转动变得耦合——你滚转的时候，俯仰轴也会受影响。

4.4 完整的动力学模型

把上面所有东西整合起来，我们得到多旋翼的完整动力学模型。这里我以四旋翼为例，给出一个常用的状态空间形式：

状态向量：x = [x, y, z, vx, vy, vz, φ, θ, ψ, p, q, r]ᵀ

控制输入：u = [ω₁², ω₂², ω₃², ω₄²]ᵀ

动力学方程：
dx/dt = vx
dy/dt = vy
dz/dt = vz

dvx/dt = (cosφ sinθ cosψ + sinφ sinψ) * (F_total / m)
dvy/dt = (cosφ sinθ sinψ - sinφ cosψ) * (F_total / m)
dvz/dt = cosφ cosθ * (F_total / m) - g

dφ/dt = p + q sinφ tanθ + r cosφ tanθ
dθ/dt = q cosφ - r sinφ
dψ/dt = (q sinφ + r cosφ) / cosθ

dp/dt = (M_x - (J_zz - J_yy) * q * r) / J_xx
dq/dt = (M_y - (J_xx - J_zz) * p * r) / J_yy
dr/dt = (M_z - (J_yy - J_xx) * p * q) / J_zz

这个模型看起来有点吓人，但别慌。我解释一下：

• 前6个方程是平动部分，后6个是转动部分。
• F_total是四个电机推力的合力。
• M_x, M_y, M_z是三个轴上的控制力矩，由四个电机的转速差产生。
• 姿态角（φ, θ, ψ）的微分方程里，有tanθ项。这意味着俯仰角接近90度时，方程会发散。这就是为什么多旋翼一般不做大角度机动。

4.5 知识体系总览

为了让大家更直观地理解这一章的内容，我画了一张图。它展示了从电机到整机动力学模型的完整链路：

这张图把本章的知识点串起来了。从左到右，从电机到整机，每一步都有明确的物理模型。做MPC的时候，我们就是基于这个模型来预测未来状态的。

好了，这一章的内容就到这里。模型是基础，但光有模型还不够。下一章，我们会讨论怎么把这个模型用到MPC控制器里。到时候你会发现，模型越准，控制效果越好，但计算量也越大。怎么平衡，是个技术活。

---

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321