第2章刚体运动学基础

2、刚体运动学基础：坐标系定义（惯性系、机体系）、欧拉角、旋转矩阵、四元数基础概念

2.1 坐标系定义

在姿态控制中，我们首先需要明确“相对于谁在运动”。通常定义两个核心坐标系：

惯性坐标系（Inertial Frame, 记为 {I} 或 {N}）：通常取地球表面某一点为原点，X轴指向北（或东），Y轴指向东（或北），Z轴指向地心（或天顶，遵循右手定则）。在短时间、小范围的飞行器控制中，可近似认为该坐标系是静止不动的，牛顿定律在此坐标系下成立。
机体坐标系（Body Frame, 记为 {B}）：固连在飞行器上，原点位于飞行器质心。X轴指向机头（前进方向），Y轴指向右翼，Z轴指向机腹（向下，构成右手系）。飞行器的角速度、加速度传感器（IMU）测量的原始数据均在此坐标系下。

姿态控制的核心任务：描述 {B} 相对于 {I} 的旋转关系。

2.2 欧拉角

欧拉角是最直观的旋转表示法，通过三次绕不同轴的旋转来描述姿态。最常用的航空顺序是 Z-Y-X（偏航-俯仰-滚转）：

偏航角 ψ (Yaw)：绕惯性系 Z_I 轴旋转，改变机头指向（北/东方向）。
俯仰角 θ (Pitch)：绕第一次旋转后的 Y 轴旋转，改变机头仰俯。
滚转角 φ (Roll)：绕第二次旋转后的 X 轴旋转，改变机翼倾斜。

优点：物理意义明确，易于人眼理解（例如：俯仰角30°表示机头向上）。

缺点：存在 万向锁（Gimbal Lock） 问题。当俯仰角 θ = ±90° 时，偏航和滚转的旋转轴重合，丢失一个自由度，导致姿态解算奇异。此外，欧拉角微分方程包含三角函数，计算量较大且不适合插值。

2.3 旋转矩阵

旋转矩阵 R 是一个 3×3 的正交矩阵（行列式为+1），用于将一个向量从机体坐标系 {B} 变换到惯性坐标系 {I}：

v_I = R · v_B

由欧拉角（Z-Y-X顺序）构造的旋转矩阵为：

R = R_z(ψ) · R_y(θ) · R_x(φ)

其中各基本旋转矩阵为：

绕X轴旋转 φ	绕Y轴旋转 θ	绕Z轴旋转 ψ
[1, 0, 0] [0, cosφ, -sinφ] [0, sinφ, cosφ]	[cosθ, 0, sinθ] [0, 1, 0] [-sinθ, 0, cosθ]	[cosψ, -sinψ, 0] [sinψ, cosψ, 0] [0, 0, 1]

优点：无奇异点，可唯一表示任意姿态；组合旋转只需矩阵乘法。

缺点：9个参数，存在冗余（正交约束），数值积分时需不断正交化，计算量大。

2.4 四元数

四元数是一种超复数，由一个实部和三个虚部组成：q = q₀ + q₁i + q₂j + q₃k，满足 i² = j² = k² = ijk = -1。在姿态表示中，通常使用单位四元数（模长为1）。

四元数表示绕单位轴 u = [u_x, u_y, u_z] 旋转角度 α：

q = [cos(α/2), u_x·sin(α/2), u_y·sin(α/2), u_z·sin(α/2)]

四元数乘法（用于组合旋转）定义为：

q₁ ⊗ q₂ = [q_0,1q_0,2 - q_1,1q_1,2 - q_2,1q_2,2 - q_3,1q_3,2,
q_0,1q_1,2 + q_1,1q_0,2 + q_2,1q_3,2 - q_3,1q_2,2,
q_0,1q_2,2 - q_1,1q_3,2 + q_2,1q_0,2 + q_3,1q_1,2,
q_0,1q_3,2 + q_1,1q_2,2 - q_2,1q_1,2 + q_3,1q_0,2]

优点：

无奇异点，可平滑表示任意姿态。
仅4个参数，无冗余约束。
微分方程简单（dq/dt = 0.5 · q ⊗ ω，其中 ω 为机体角速度），适合数值积分。
插值（Slerp）平滑，适合动画和滤波器。

缺点：不够直观，人眼难以直接看出物理意义；需注意单位化约束。

2.5 三种表示法的对比与选择

特性	欧拉角	旋转矩阵	四元数
参数数量	3	9	4
奇异点	有（万向锁）	无	无
直观性	高	低	低
计算效率	中等（三角函数）	低（9个元素）	高（仅4个元素）
微分方程	复杂（含三角函数）	复杂（需正交化）	简单（线性）
工程应用	人机交互、初始姿态设定	坐标变换、视觉SLAM	姿态解算、控制环路、滤波器