第2章：概率论与随机过程回顾：高斯分布、协方差传播、随机游走、马尔可夫假设
各位同学，欢迎来到第二讲。
做组合导航，说白了就是在跟不确定性打交道。传感器有噪声，模型有误差，连你手里的卫星信号都可能被高楼反射一下。那怎么处理这些不确定性？靠的就是概率论和随机过程这套工具。
我个人习惯，在讲卡尔曼滤波之前，先把这几块硬骨头啃下来。别怕，咱们一个一个来。
2.1 高斯分布：为什么到处都是它？
你想想看，为什么卡尔曼滤波里默认所有噪声都是高斯分布？
原因很简单：高斯分布数学性质好，而且现实中大量噪声确实近似高斯。中心极限定理告诉我们，很多独立随机变量加起来，分布就趋近于高斯。传感器热噪声、量化误差，基本都是这个路子。
一维高斯分布的概率密度函数：
p(x) = (1 / sqrt(2πσ²)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))其中 μ 是均值，σ² 是方差。
多维情况呢？我们写成向量形式：
p(x) = (1 / sqrt((2π)^n |Σ|)) * exp(-0.5 * (x - μ)^T Σ^{-1} (x - μ))这里的 Σ 就是协方差矩阵。它描述的不只是每个维度的方差，还有维度之间的相关性。
我在项目中遇到过一件事：有一次做车辆定位，IMU的加速度计噪声我一开始当成独立高斯处理，结果发现滤波效果很差。后来仔细一查，三个轴的噪声其实有相关性——因为芯片内部供电有耦合。加上协方差矩阵的非对角项之后，效果立马好了。
小技巧：实际工程中，如果不知道噪声分布，先假设高斯。然后通过残差分析验证假设是否合理。残差如果明显偏态，那就得考虑其他分布了。
2.2 协方差传播：误差是怎么传递的？
做组合导航，我们经常要问一个问题：已知输入量的误差，输出量的误差是多少？
比如，我知道陀螺的角速度测量有噪声，那积分出来的角度误差有多大？这就是协方差传播要解决的问题。
假设我们有非线性函数 y = f(x)，x 的协方差是 P_x。那么 y 的协方差近似为：
P_y ≈ J * P_x * J^T其中 J 是 f 对 x 的雅可比矩阵。
这个公式太重要了。卡尔曼滤波的预测步，本质上就是在做协方差传播。
注意：这个公式只对线性或弱非线性系统成立。如果非线性很强，就得用无迹变换或者粒子滤波了。我曾经在一个无人机项目中硬套这个公式，结果协方差矩阵发散——因为模型非线性太强，雅可比近似失效了。
举个具体例子。假设位置 p = p0 + v * dt，其中 v 是速度，dt 是时间间隔。如果 v 的方差是 σ_v²，那么 p 的方差就是：
σ_p² = σ_p0² + dt² * σ_v²你看，时间越长，速度误差对位置误差的贡献就越大。这就是为什么纯惯性导航会随时间漂移——误差在积分中不断累积。
2.3 随机游走：为什么陀螺会漂移？
随机游走，英文叫 Random Walk。这个名字很形象——就像喝醉了酒的人走路，下一步往哪走完全随机。
在组合导航里，随机游走最常见的应用就是描述陀螺的零偏漂移。你开机时陀螺的零偏是一个值，过一会儿它就慢慢变了。这个变化过程，就可以建模为随机游走。
数学上，离散时间的随机游走可以写成：
x_k = x_{k-1} + w_{k-1}其中 w_{k-1} 是高斯白噪声。你看，每一步都在前一步的基础上加一个随机量。
随机游走有个重要性质：它的方差随时间线性增长。也就是说，时间越长，不确定性越大。这跟前面协方差传播的例子是一个道理。
工程经验：我建议你在标定IMU时，一定要做艾伦方差分析。它能帮你把噪声拆解成角度随机游走、速率随机游走、零偏不稳定性等不同成分。这样你才能给卡尔曼滤波器设置正确的噪声参数。
我曾经遇到一个案例：某款MEMS陀螺，数据手册上写的零偏稳定性是 10°/h。但实际跑起来，半小时后航向角就偏了 30 度。为什么？因为手册给的是静态指标，而实际使用中温度变化、振动都会加剧随机游走。后来我们在滤波器里把过程噪声调大了两倍，才勉强压住。
2.4 马尔可夫假设：让问题变得可解
马尔可夫假设，说白了就是一句话：未来只与现在有关，与过去无关。
用数学语言说：
p(x_k | x_{k-1}, x_{k-2}, ..., x_0) = p(x_k | x_{k-1})这个假设在卡尔曼滤波里至关重要。为什么？因为如果没有这个假设，我们要考虑所有历史状态，计算量会爆炸。
你想想看，如果每次更新都要回溯过去所有的状态，那滤波器根本跑不起来。有了马尔可夫假设，我们只需要记住当前状态和它的协方差，就可以递推下去了。
实际含义：在组合导航中，马尔可夫假设意味着：当前时刻的状态已经包含了所有历史信息。你不需要知道十分钟前发生了什么，只需要知道当前的位置、速度、姿态和它们的协方差，就能预测下一秒。
当然，这个假设在现实中并不完全成立。比如，陀螺的零偏变化其实是有时间相关性的——它可能是一个一阶马尔可夫过程，而不是纯随机游走。这时候我们就需要扩展状态，把零偏也作为状态量估计。
避坑指南：我曾经在一个项目中，把陀螺零偏建模为随机游走（即白噪声驱动），结果滤波器估计的零偏总是滞后于真实变化。后来改成了一阶马尔可夫模型，才跟上。所以，选择什么模型，取决于你对物理过程的了解程度。
2.5 知识体系总览
下面这张图，是我自己总结的本章知识脉络。你可以把它当作一个思维导图来看：
这张图把四个核心概念串起来了。高斯分布是基础假设，协方差传播是计算工具，随机游走是常见噪声模型，马尔可夫假设让递推成为可能。它们共同构成了卡尔曼滤波的理论基石。
好了，这一章就到这里。记住，这些概念不是孤立的——在后面的章节里，我们会反复用到它们。尤其是协方差传播和马尔可夫假设，几乎是卡尔曼滤波的骨架。
本章要点回顾：
- 高斯分布：数学性质好，实际噪声近似，是卡尔曼滤波的基础假设
- 协方差传播：P_y = J * P_x * J^T，误差通过雅可比矩阵传递
- 随机游走：x_k = x_{k-1} + w，方差随时间线性增长，用于建模陀螺零偏漂移
- 马尔可夫假设：未来只与现在有关，使递推估计成为可能
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