4、状态估计理论基础：最小二乘估计、加权最小二乘、递推最小二乘

各位同学，今天我们来聊聊状态估计的“基本功”。

做深空探测导航，说白了就是“猜”航天器在哪儿。但怎么猜得准？这就得靠数学工具了。我个人习惯把最小二乘估计、加权最小二乘、递推最小二乘这三兄弟，看作是状态估计的“入门三板斧”。你想想看，从最早的轨道确定，到现在的实时导航，它们的影子无处不在。

4.1 最小二乘估计：最朴素的“猜”法

先说说最小二乘估计。这玩意儿历史可悠久了，高斯当年就用它来预测谷神星的轨道。

它的核心思想特别简单：让所有观测误差的平方和最小。为什么是平方？因为正负误差不能抵消，平方后还能放大大误差的影响，让结果更“稳”。

假设我们有 m 个观测值 z，想估计 n 个状态 x（m > n）。观测模型是线性的：

z = Hx + v

其中 v 是观测噪声。最小二乘估计的目标函数是：

J(x) = (z - Hx)^T (z - Hx)

求导令其为零，得到估计值：

x̂ = (H^T H)^{-1} H^T z

嗯，这里要注意：H^T H 必须可逆。我在项目中遇到过，如果观测几何不好，比如测站都在同一侧，这个矩阵就接近奇异，算出来的结果会剧烈抖动。

4.2 加权最小二乘：给数据“打分”

加权最小二乘，说白了就是给每个观测值一个“信任度”。

为什么需要加权？举个例子。你用地基深空站测距，X波段的测距精度可能是米级，而S波段可能是十米级。如果你把它们同等对待，结果会被精度差的数据“带偏”。

加权最小二乘的目标函数变成了：

J(x) = (z - Hx)^T W (z - Hx)

其中 W 是加权矩阵，通常取观测噪声协方差矩阵的逆：W = R^{-1}。

解算结果：

x̂ = (H^T W H)^{-1} H^T W z

我曾经处理过一个火星探测器入轨段的数据。测速数据精度很高，但测距数据受电离层影响波动大。我用了加权最小二乘，给测速数据赋了高权重，结果轨道确定精度提升了近一个数量级。

4.3 递推最小二乘：实时更新的“法宝”

前面两种方法都是“批处理”——等所有数据到齐了再算。但深空探测中，数据是源源不断来的。你总不能等一天的数据收齐了再算轨道吧？

递推最小二乘就是解决这个问题的。它的思路是：用上一时刻的估计值，加上新观测的“修正量”，得到当前时刻的估计值。

递推公式如下：

K_k = P_{k-1} H_k^T (H_k P_{k-1} H_k^T + R_k)^{-1}
x̂_k = x̂_{k-1} + K_k (z_k - H_k x̂_{k-1})
P_k = (I - K_k H_k) P_{k-1}

其中 K_k 是增益矩阵，P_k 是估计误差协方差矩阵。

你看，这个结构和卡尔曼滤波已经很接近了。实际上，递推最小二乘就是卡尔曼滤波在“无过程噪声”情况下的特例。

4.4 三种方法的对比与选择

我把这三种方法的特点整理成了一张表，方便你对比：

方法	适用场景	优点	缺点
最小二乘估计	数据精度一致，离线处理	简单、直观、计算量小	不考虑数据质量差异
加权最小二乘	数据精度不同，离线处理	能利用数据质量信息	需要先验的权重信息
递推最小二乘	实时/在线处理	计算量小，适合嵌入式	可能出现数据饱和

我个人习惯这样选：

• 做轨道确定后处理，用加权最小二乘，精度最高。
• 做星上自主导航，用递推最小二乘，计算量可控。
• 做初步分析或教学演示，用普通最小二乘，简单明了。

4.5 知识体系框架

下面这张图展示了本章的核心逻辑，我画成了SVG，方便你理解：

从这张图你可以看到，三种方法一脉相承。加权最小二乘是普通最小二乘的“升级版”，递推最小二乘则是为了适应实时场景的“变体”。

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