2. 刚体运动学基础：坐标系定义与变换

各位同学，今天我们聊聊刚体运动学的基础。说白了，就是搞清楚飞行器在空间里「怎么动」以及「怎么描述它动」。这部分内容，我做了十几年控制，几乎每天都在跟它打交道。你想想看，如果连坐标系都搞不清楚，后面的参数辨识和验证，那就是空中楼阁。

2.1 惯性系与体坐标系

首先，我们得有个「绝对」的参考。这就是惯性坐标系，也叫地球坐标系。我个人习惯用 O_iX_iY_iZ_i 来表示。原点通常选在地面某点，比如起飞点。Z轴指向天，X轴指向北或东，Y轴按右手定则确定。嗯，这里要注意：不同项目对惯性系的定义可能不同，但核心思想是——它固定不动，用来衡量飞行器的绝对位置和姿态。

另一个是体坐标系，固定在飞行器上。我用 O_bX_bY_bZ_b 表示。原点在飞行器质心。X轴指向机头，Y轴指向右翼，Z轴指向下（符合右手定则）。

我在项目中遇到过一个问题：有次试飞，IMU数据直接拿来用，结果姿态解算全乱套了。后来发现，是IMU的安装方向跟体坐标系定义差了90度。所以，坐标系定义一定要写在设计文档的第一页，并且要跟硬件团队反复确认。

2.2 欧拉角与旋转矩阵

飞行器从惯性系转到体坐标系，怎么描述？最直观的方式就是欧拉角。我常用的顺序是 Z-Y-X，也就是先偏航（Yaw，绕Z轴），再俯仰（Pitch，绕Y轴），最后滚转（Roll，绕X轴）。

对应的旋转矩阵长这样：

R = Rz(ψ) * Ry(θ) * Rx(φ)

其中：
Rz(ψ) = [cosψ  -sinψ  0;  sinψ  cosψ  0;  0  0  1]
Ry(θ) = [cosθ   0   sinθ;  0     1    0; -sinθ  0  cosθ]
Rx(φ) = [1     0     0;  0  cosφ -sinφ;  0  sinφ  cosφ]

这个矩阵的作用，就是把惯性系下的向量，转换到体坐标系下。反过来，用它的转置矩阵就能从体坐标系转回惯性系。

2.3 四元数基础

四元数，说白了就是四个数描述旋转。它没有万向锁，计算效率也高。我一般用 q = [q0, q1, q2, q3] 表示，其中 q0 是标量部分，q1,q2,q3 是矢量部分。

四元数跟旋转矩阵的转换关系：

R = [1-2(q2²+q3²)   2(q1q2-q0q3)   2(q1q3+q0q2);
     2(q1q2+q0q3)   1-2(q1²+q3²)   2(q2q3-q0q1);
     2(q1q3-q0q2)   2(q2q3+q0q1)   1-2(q1²+q2²)]

嗯，这个公式看起来有点吓人。但你想想看，实际编程时，我们只需要调用现成的库函数就行。重要的是理解它的物理意义：四元数本质上是一个单位向量绕某个轴旋转了某个角度。

2.4 齐次变换矩阵

最后，我们聊聊齐次变换矩阵。它把旋转和平移统一到一个4x4的矩阵里：

T = [R   t;
     0   1]

其中 R 是3x3旋转矩阵，t 是3x1平移向量。

这个矩阵有什么用？举个例子：你要把IMU测量的角速度和加速度，从IMU的安装位置转换到飞行器质心。这时候，就需要一个齐次变换矩阵，同时处理旋转和位置偏移。

我在项目中用过它来标定传感器安装误差。把IMU、GPS、磁力计各自的坐标系，都通过齐次变换矩阵统一到体坐标系下。这样，所有数据都在同一个框架里，处理起来特别清爽。

知识体系总览

下面这张图，是我自己梳理的本章知识结构。你可以把它当作一个「地图」，随时回来查阅。