1. 飞行器坐标系与运动参数

各位同学好，我是老张。搞了十几年飞行器建模，今天咱们聊聊最基础但也最容易出错的东西——坐标系和运动参数。

说实话，我见过太多新手一上来就对着公式猛算，结果坐标系搞反了，仿真结果直接飞上天花板。嗯，咱们先把地基打牢。

1.1 常用的四个坐标系

飞行器建模绕不开坐标系。我个人习惯把坐标系分成两类：一类是「站在地球上看」，一类是「坐在飞机里看」。下面这四个，你迟早都得打交道。

1.1.1 地心惯性系（ECI）

这个坐标系说白了就是「宇宙的绝对参考系」。原点在地心，Z轴指向北极，X轴指向春分点，Y轴按右手定则补齐。它不跟着地球转，所以牛顿定律在这里最管用。

1.1.2 地心地固系（ECEF）

这个坐标系跟着地球一起转。原点还是地心，但X轴指向本初子午线与赤道的交点。GPS给的位置数据，本质上就是ECEF坐标。

我曾经在项目里犯过一个低级错误：把ECI和ECEF混着用，结果导航解算差了十几公里。嗯，从那以后我每次建模都会在代码开头写清楚当前用的是哪个系。

1.1.3 北东地系（NED）

这个最接地气。原点在飞行器质心，X轴指向北，Y轴指向东，Z轴指向地心。说白了就是「你站在地面上看飞机」的视角。

做无人机控制时，我几乎只用NED。为什么？因为高度、航向这些参数直接对应传感器读数，省去一堆转换。

1.1.4 机体坐标系（Body）

这个坐标系固定在飞机上。原点在质心，X轴指向机头，Y轴指向右翼，Z轴指向机腹。你想想看，飞行员说的「滚转」、「俯仰」、「偏航」，都是相对于这个系的。

1.2 运动参数的物理意义与数学表示

有了坐标系，接下来就是描述「飞机怎么动」。我把它拆成四类：姿态、角速度、速度、位置。咱们一个一个说。

1.2.1 姿态角（欧拉角）

姿态角就是飞机相对于NED系的朝向。三个角：滚转角φ（绕X轴）、俯仰角θ（绕Y轴）、偏航角ψ（绕Z轴）。

数学上，从NED到机体系的旋转矩阵长这样：

R = Rz(ψ) * Ry(θ) * Rx(φ)

其中：
Rx(φ) = [[1, 0, 0],
         [0, cosφ, sinφ],
         [0, -sinφ, cosφ]]

Ry(θ) = [[cosθ, 0, -sinθ],
         [0, 1, 0],
         [sinθ, 0, cosθ]]

Rz(ψ) = [[cosψ, sinψ, 0],
         [-sinψ, cosψ, 0],
         [0, 0, 1]]

1.2.2 角速度

角速度描述飞机转得有多快。在机体系里，它有三个分量：p（滚转角速度）、q（俯仰角速度）、r（偏航角速度）。单位是rad/s。

注意，欧拉角的导数跟角速度不是一回事。它们的关系是：

[φ_dot]   [1, sinφ*tanθ, cosφ*tanθ] [p]
[θ_dot] = [0, cosφ,      -sinφ     ] [q]
[ψ_dot]   [0, sinφ/cosθ, cosφ/cosθ] [r]

你看，当θ接近90度时，分母cosθ趋近0，数值就不稳定了。这就是万向锁的数学本质。

1.2.3 速度

速度分两种：地速（相对于地面）和空速（相对于空气）。做控制时，我一般用空速，因为它直接决定气动力。

在机体系里，速度向量写作 [u, v, w]^T。u是前向速度，v是侧向速度，w是垂向速度。空速大小 V = sqrt(u² + v² + w²)。

1.2.4 位置

位置通常用NED系下的 [x, y, z] 表示。x向北为正，y向东为正，z向下为正。注意，高度是 -z。

位置的变化率就是地速在NED系下的投影。转换关系：

[x_dot]   [cosθ*cosψ, sinφ*sinθ*cosψ - cosφ*sinψ, cosφ*sinθ*cosψ + sinφ*sinψ] [u]
[y_dot] = [cosθ*sinψ, sinφ*sinθ*sinψ + cosφ*cosψ, cosφ*sinθ*sinψ - sinφ*cosψ] [v]
[z_dot]   [-sinθ,     sinφ*cosθ,                  cosφ*cosθ                 ] [w]

说白了，这就是把机体系的速度旋转到NED系。

1.3 知识体系总览

下面这张图是我自己画的，把本章的核心逻辑串起来了。你仔细看看，坐标系和运动参数是怎么关联的。

1.4 小结

这一章咱们把坐标系和运动参数捋了一遍。说白了，坐标系就是「参考框架」，运动参数就是「在这个框架里怎么描述飞机的状态」。你想想看，没有坐标系，你连「飞机朝哪飞」都说不清楚。

我个人建议，刚开始做建模时，先在纸上把坐标系画清楚，标好每个轴的方向。我当年带的一个实习生，就是因为没画图，把NED的Z轴方向搞反了，结果仿真里飞机一直往天上掉——嗯，后来他养成了画图的好习惯。

---

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321