第4章数字陷波滤波器设计

4. 数字陷波滤波器设计：双线性变换法、脉冲响应不变法、滤波器阶数选择

好，咱们进入正题。前面聊了模拟陷波滤波器的设计，但实际运动控制里，我们用的都是数字控制器。所以，怎么把模拟滤波器变成数字的，这一步很关键。

说白了，就是要把连续域的传递函数 H(s)，映射到离散域的传递函数 H(z)。我这些年用过的方法里，最常用的就两种：双线性变换法和脉冲响应不变法。另外，滤波器阶数怎么选，也是个坑，我踩过。

我个人习惯，90% 的场景都用双线性变换法。为什么？因为它没有频率混叠的问题。

双线性变换的公式很简单：

s = (2/T) * (1 - z⁻¹) / (1 + z⁻¹)

其中 T 是采样周期。你把模拟滤波器的 H(s) 里的 s 替换成这个表达式，一通化简，就得到 H(z) 了。

举个例子，一个二阶模拟陷波器：

H(s) = (s² + ω₀²) / (s² + 2ζω₀s + ω₀²)

代入双线性变换后，得到数字滤波器系数。我一般用 MATLAB 的 bilinear 函数直接算，省事。

关键点：双线性变换会把整个 s 平面映射到 z 平面的单位圆内。所以模拟频率和数字频率之间有个非线性关系，叫频率预畸变。你得先做预畸变，再设计滤波器。

频率预畸变的公式：

ω_analog = (2/T) * tan(ω_digital * T / 2)

嗯，这里要注意：如果你陷波频率是 50Hz，采样率 1000Hz，那数字角频率就是 2π*50/1000 = 0.1π。预畸变后的模拟角频率要重新算一下。

我的经验：双线性变换法设计的数字滤波器，在低频段（比如陷波频率在采样率的 1/10 以下）效果非常好。高频段会有频率偏移，但运动控制的谐振通常在中低频，所以够用了。

脉冲响应不变法，说白了就是让数字滤波器的单位脉冲响应，等于模拟滤波器单位脉冲响应的采样值。

听起来很直观对吧？但有个大问题：频率混叠。

模拟滤波器的频率响应不是带限的，采样后高频分量会折叠到低频段。陷波器本身就是要衰减特定频率，如果混叠了，你都不知道衰减的是哪个频率。

我曾经在一个项目中试过脉冲响应不变法，结果陷波频率偏了 3Hz，伺服系统反而抖得更厉害。后来换成双线性变换法，问题就解决了。

避坑指南：除非你的采样率远高于陷波频率（比如 10 倍以上），否则别用脉冲响应不变法。我一般只在采样率 > 20 倍陷波频率时才考虑它。

脉冲响应不变法的实现步骤：

你看，步骤比双线性变换法还麻烦，效果还不好。所以，我个人建议：忘掉脉冲响应不变法，用双线性变换法就够了。

很多新手觉得，阶数越高，陷波效果越好。其实不是这么回事。

阶数越高，带来的问题越多：

我一般遵循这个原则：

你想想看，运动控制里的谐振，通常就一两个频率点。用二阶陷波器，Q 值调高一点，衰减深度就够了。没必要上六阶、八阶。

我的建议：先从二阶开始试。如果效果不理想，再考虑四阶。千万别一上来就搞高阶，调试起来很痛苦。

好了，说了这么多，到底怎么选？我总结一下我的决策流程：

我曾经在一个项目中，谐振频率是 120Hz，采样率 2000Hz。我用双线性变换法设计了一个二阶陷波器，Q=10，衰减深度 -30dB。上机测试，谐振峰直接压平了，系统稳定运行。

但如果当时我用脉冲响应不变法，或者选了四阶，可能就要多花两天时间调试。所以，选对方法，事半功倍。

小技巧：设计完数字滤波器后，用 freqz 函数看一下幅频响应。如果陷波频率点有偏差，检查一下预畸变有没有做对。

下面这张图，是我自己画的，把本章的核心逻辑串起来了。你看一眼，应该就能明白整个设计流程。

这张图把整个流程串起来了：从模拟陷波器出发，选择设计方法，做频率预畸变，选阶数，最后得到数字陷波器。每一步都有坑，但按这个流程走，基本不会出大问题。