第2章电机控制基础回顾

2. 电机控制基础回顾：直流电机数学模型、交流电机数学模型、坐标变换理论

好，咱们正式开始第二讲。在做卡尔曼滤波之前，我建议先把电机本身的数学模型捋清楚。你想想看，滤波器再厉害，也得知道被控对象长什么样。说白了，模型不准，估计出来的状态就是空中楼阁。

这一节我会带着大家把直流电机、交流电机的数学模型过一遍，再聊聊坐标变换。嗯，这些都是后面做状态估计的“地基”。

直流电机其实是最简单的。我记得刚入行那会儿，第一个项目就是调直流有刷电机的位置环。当时觉得不就是个二阶系统嘛，后来发现，如果忽略了一些细节，电流环抖得你怀疑人生。

直流电机的核心方程就两个：电压方程和转矩方程。

电压方程：

U = R * i + L * di/dt + E

其中 E = K_e * ω，是反电动势。K_e 是反电动势常数，ω 是电机转速。

转矩方程：

T_e = K_t * i
T_e - T_L = J * dω/dt + B * ω

K_t 是转矩常数。在理想情况下，K_t 和 K_e 数值相等（单位制统一时）。

重要结论：直流电机的数学模型本质上是一个二阶线性系统。状态变量通常选电流 i 和转速 ω。输入是电压 U，输出是转速。

写成状态空间形式，大家感受一下：

d/dt [i]   = [ -R/L   -K_e/L ] [i]   + [ 1/L ] U
     [ω]     [ K_t/J   -B/J  ] [ω]     [  0  ]

我的经验：实际项目中，B（粘滞摩擦系数）很难精确测量。我一般先忽略它，然后在卡尔曼滤波里把B当作一个噪声项来处理。效果还不错。

交流电机就复杂多了。尤其是异步电机和永磁同步电机（PMSM），它们的模型是强耦合、非线性的。你想想看，三相绕组在空间上差120度，电流还在随时间变化，这耦合关系够你喝一壶的。

先看异步电机的数学模型：

异步电机的电压方程在静止坐标系（αβ）下是这样的：

U_sα = R_s * i_sα + dψ_sα/dt
U_sβ = R_s * i_sβ + dψ_sβ/dt
0 = R_r * i_rα + dψ_rα/dt + ω_r * ψ_rβ
0 = R_r * i_rβ + dψ_rβ/dt - ω_r * ψ_rα

下标 s 表示定子，r 表示转子。ω_r 是转子电角速度。

磁链方程：

ψ_sα = L_s * i_sα + L_m * i_rα
ψ_sβ = L_s * i_sβ + L_m * i_rβ
ψ_rα = L_m * i_sα + L_r * i_rα
ψ_rβ = L_m * i_sβ + L_r * i_rβ

看着是不是有点晕？别急，我当年第一次看到这个方程组，也懵了。后来发现，其实核心就是四个状态变量：定子电流和转子磁链。

注意：异步电机的转子时间常数 T_r = L_r / R_r 会随着温度变化。我曾经在一个项目中没考虑这个，结果低速时转矩估计偏差很大。后来加了在线参数辨识才搞定。

永磁同步电机（PMSM）的模型：

PMSM 的电压方程在 dq 旋转坐标系下更简洁：

U_d = R_s * i_d + L_d * di_d/dt - ω_e * L_q * i_q
U_q = R_s * i_q + L_q * di_q/dt + ω_e * (L_d * i_d + ψ_f)

其中 ψ_f 是永磁体磁链，ω_e 是电角速度。

转矩方程：

T_e = 1.5 * p * [ψ_f * i_q + (L_d - L_q) * i_d * i_q]

p 是极对数。对于表贴式 PMSM（L_d = L_q），转矩简化为 T_e = 1.5 * p * ψ_f * i_q。

关键点：交流电机的数学模型在静止坐标系下是时变的（因为电感矩阵随转子位置变化），但在旋转坐标系下是时不变的。这就是为什么我们要做坐标变换。

坐标变换，说白了就是把三相交流量变成两相直流量。这样控制起来就简单多了。你想想看，如果直接在 abc 三相上做 PID，三个电流环互相耦合，调参能把你调哭。

Clark 变换（3相 → 2相静止）：

[i_α]   = 2/3 * [ 1     -1/2   -1/2 ] [i_a]
[i_β]             [ 0     √3/2  -√3/2] [i_b]
                                        [i_c]

等幅值变换下，系数是 2/3。等功率变换下，系数是 √(2/3)。我个人习惯用等幅值变换，因为调试时数值更直观。

Park 变换（2相静止 → 2相旋转）：

[i_d]   = [ cosθ    sinθ ] [i_α]
[i_q]     [-sinθ    cosθ ] [i_β]

θ 是转子电角度，由编码器或观测器提供。

反过来，逆 Park 变换和逆 Clark 变换也很常用，这里不赘述了。

避坑指南：我曾经在调试时发现 dq 轴电流一直有静差，查了半天发现是 Park 变换的角度符号搞反了。记住：d 轴对齐转子磁链方向，q 轴超前 d 轴 90 度。方向错了，电流环就废了。

为了让大家更直观地理解这三块内容的关系，我画了一张图：

这张图把三块内容串起来了。直流电机模型简单，可以直接上手。交流电机模型复杂，但通过坐标变换可以简化。嗯，后面的卡尔曼滤波章节，我们会反复用到这些模型。

总结一下：

好了，这一节的内容就到这里。模型是基础，大家一定要亲手推导一遍。下一节我们会开始讲卡尔曼滤波的数学原理，到时候这些模型就要派上用场了。

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