2. 电机数学模型：永磁同步电机(PMSM)在dq坐标系下的数学模型

好，咱们直接进入正题。永磁同步电机这东西，你光看三相绕组的原始模型，那叫一个复杂。电压、电流都是随时间正弦变化的，耦合还特别严重。我早年刚接触PMSM控制时，看着那堆微分方程就头疼。

后来学术界想了个绝妙的办法——坐标变换。把三相静止的ABC坐标系，先变到两相静止的αβ坐标系，再旋转一下，变到跟转子同步旋转的dq坐标系。这一下，问题就简单多了。

2.1 dq坐标系下的电压方程

我个人习惯把电压方程作为分析的起点。在dq旋转坐标系下，PMSM的定子电压方程长这样：

ud = Rs * id + Ld * (did/dt) - ωe * Lq * iq
uq = Rs * iq + Lq * (diq/dt) + ωe * (Ld * id + ψf)

这里每个符号都有它的物理意义：

• ud, uq —— d轴和q轴的定子电压（V）
• id, iq —— d轴和q轴的定子电流（A）
• Rs —— 定子相电阻（Ω），这个就是我们后面要辨识的对象之一
• Ld, Lq —— d轴和q轴电感（H），另一个辨识目标
• ωe —— 电角速度（rad/s），等于极对数乘以机械角速度
• ψf —— 永磁体磁链（Wb），一般认为是已知的常数

注意看，方程里出现了-ωe * Lq * iq和+ωe * Ld * id这两项。这就是所谓的反电动势耦合项。我在做低速辨识时，曾经忽略了这两项，结果辨识出来的电感值偏差很大。嗯，这里要注意，转速越高，耦合项的影响越大。

2.2 dq坐标系下的磁链方程

磁链方程是电压方程的基础。说白了，电压就是磁链的变化率加上电阻压降。dq坐标系下的磁链方程为：

ψd = Ld * id + ψf
ψq = Lq * iq

你看，d轴磁链由两部分组成：电枢反应产生的Ld * id，以及永磁体自身的ψf。而q轴磁链就简单了，只有Lq * iq这一项。

为什么要把磁链写成这样？因为后面做电感辨识时，我们需要从磁链方程反推电感值。我曾经在项目里遇到过一个问题：当id为负值（弱磁工况）时，d轴磁链会变小，这时候如果还用固定电感去算，转矩控制就会不准。

2.3 dq坐标系下的转矩方程

转矩方程是电机控制的最终目标。在dq坐标系下，电磁转矩的表达式为：

Te = 1.5 * p * [ψf * iq + (Ld - Lq) * id * iq]

其中p是电机极对数。这个方程可以拆成两部分来看：

• ψf * iq —— 永磁转矩分量，由永磁体和q轴电流相互作用产生
• (Ld - Lq) * id * iq —— 磁阻转矩分量，由d轴和q轴电感差异产生

对于表贴式永磁同步电机（SPMSM），Ld ≈ Lq，磁阻转矩项几乎为零。但对于内置式（IPMSM），Ld通常小于Lq，这时候磁阻转矩就能帮上大忙了。我记得有一次做电动汽车驱动项目，就是利用磁阻转矩把效率提升了3个百分点。

为什么会这样？因为你可以通过调整id和iq的分配，让电机在相同转矩下消耗更小的电流。这就是所谓的最大转矩电流比（MTPA）控制。

2.4 知识体系结构图

下面这张图，是我梳理的PMSM在dq坐标系下的数学模型核心逻辑。你看一眼就能明白各个方程之间的关系：

2.5 三个方程的内在联系

你可能要问，这三个方程到底怎么串起来的？我简单捋一下：

1. 电压方程是我们做辨识的输入。我们施加已知的ud、uq，测量id、iq的响应，然后反推Rs、Ld、Lq。
2. 磁链方程是中间桥梁。它把电感Ld、Lq和磁链ψd、ψq联系起来。做辨识时，我们其实是在解磁链方程里的电感。
3. 转矩方程是最终验证。辨识出来的电感准不准？算一下转矩，跟实测转矩对比一下就知道了。

2.6 稳态与动态的取舍

做在线辨识时，你经常会面临一个选择：用稳态方程还是动态方程？

• 稳态方程：忽略微分项did/dt和diq/dt。好处是计算简单，适合低速或恒速工况。坏处是动态响应慢，辨识结果有滞后。
• 动态方程：保留微分项。好处是能实时跟踪参数变化，适合加减速工况。坏处是需要对电流求导，噪声会被放大。

我个人习惯的做法是：稳态时用稳态方程，动态时用动态方程加滤波。你想想看，电机平稳运行时，电流变化率很小，强行用动态方程反而引入噪声。反过来，急加速时还用稳态方程，那辨识结果肯定跟不上。

好了，这一章的内容就这些。记住，dq坐标系下的数学模型是所有辨识方法的基础。后面讲具体辨识算法时，你会发现，无论用什么方法，最终都要回到这三个方程上来。

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