4、时间参数计算：已知最大速度、最大加速度、最大加加速度，计算各段时间
好，咱们接着聊。前面几章我们把S曲线的“骨架”——加加速度、加速度、速度、位移——都讲清楚了。现在到了真正动手算的时候了。
这一章的核心问题很简单：已知最大速度 Vmax、最大加速度 Amax、最大加加速度 Jmax，怎么把每一段的时间算出来？
我个人习惯把这个问题拆成两步走：
第一步，判断这个S曲线是“完整”的还是“被截断”的。
第二步，根据判断结果，套用不同的公式。
为什么要先判断？你想想看，如果距离太短，速度还没冲到Vmax就得开始减速了，那加速段和减速段的时间就不是完整的。我在项目中遇到过好几次，新手上来就按完整S曲线算，结果电机还没跑到一半就开始抖，就是因为时间算错了。
核心结论：时间参数计算的关键在于判断“能否达到最大速度”。能，就用完整7段；不能，就用5段甚至3段。
4.1 先判断：能不能跑到Vmax？
判断条件其实就一个：加速到Vmax需要的位移，是否小于总位移的一半？
加速段从0加速到Vmax，需要经过：
加加速段（T1）、匀加速段（T2）、减加速段（T3）。
这三段的总位移，我习惯叫它 S_acc。如果 2 * S_acc <= 总位移 S_total，那就能跑到Vmax。否则，就只能在半路开始减速。
嗯，这里要注意：减速段和加速段是对称的，所以减速段需要的位移也是 S_acc。总位移减去两头的加速和减速，剩下的就是匀速段。
4.2 能跑到Vmax：完整7段时间计算
如果能跑到Vmax，那时间参数就很好算了。我直接给公式，你拿去用就行。
| 段名 | 时间公式 | 说明 |
|---|---|---|
| T1（加加速） | T1 = Amax / Jmax |
加速度从0线性增加到Amax |
| T2（匀加速） | T2 = (Vmax / Amax) - (Amax / Jmax) |
如果Vmax不够大，T2可能为0 |
| T3（减加速） | T3 = T1 |
对称段，时间相等 |
| T4（匀速） | T4 = (S_total - 2 * S_acc) / Vmax |
S_acc是加速段总位移 |
| T5（加减速） | T5 = T1 |
对称 |
| T6（匀减速） | T6 = T2 |
对称 |
| T7（减减速） | T7 = T1 |
对称 |
这里有个细节：T2 可能为0。什么意思？就是Vmax不够大，加速度还没到Amax就开始减速了。这种情况其实很常见，比如短距离点动。我曾经调试一个贴片机，发现T2算出来是负数，当时还以为是代码写错了，后来才意识到是Vmax设得太低。
我的经验：如果T2算出来小于0，直接把它置为0。然后重新计算实际能达到的最大速度，那个速度肯定小于你设定的Vmax。
4.3 跑不到Vmax：5段时间计算
如果跑不到Vmax，那匀加速段（T2）和匀减速段（T6）就消失了。整个曲线变成5段：T1、T3、T4、T5、T7。注意，这里的T4不再是匀速，而是“最高速度保持段”，但这个最高速度 V_peak 小于Vmax。
计算步骤稍微绕一点：
- 先假设没有匀速段，即T4=0。整个运动只有加速和减速。
- 加速段和减速段各占一半位移：
S_acc = S_total / 2。 - 根据S_acc反推实际能达到的峰值速度
V_peak。
公式推导我就不展开了，直接给结果：
// 已知 S_total, Amax, Jmax
// 计算峰值速度 V_peak
// 先算一个中间量
double temp = Amax * Amax / Jmax;
if (S_total <= temp) {
// 三角形速度曲线（连Amax都达不到）
V_peak = pow(S_total * Jmax * Jmax / 2.0, 1.0/3.0);
T1 = sqrt(2 * S_total / Jmax);
T3 = T1;
T4 = 0;
} else {
// 梯形加速度曲线（能达到Amax，但达不到Vmax）
V_peak = sqrt(Amax * S_total - Amax * Amax * Amax / (3 * Jmax));
T1 = Amax / Jmax;
T3 = T1;
T4 = (S_total - 2 * (Amax * T1 * T1 + 0.5 * Amax * T1 * T1)) / V_peak;
}
注意：上面代码里的 pow(..., 1.0/3.0) 是开立方。有些嵌入式平台不支持浮点开立方，可以用牛顿迭代法近似。我之前在STM32上就踩过这个坑，后来自己写了个快速开立方函数。
4.4 特殊情况：连Amax都达不到
这种情况更极端。距离太短，加速度还没升到Amax就得开始减速了。整个曲线只有3段：加加速、减加速、加减速、减减速——实际上就是两个三角形拼在一起。
判断条件：S_total <= Amax^2 / Jmax
这时候的计算最简单：
T1 = cbrt(S_total / (2 * Jmax)); // 开立方
T3 = T1;
T5 = T1;
T7 = T1;
T2 = T4 = T6 = 0;
峰值加速度 A_peak = Jmax * T1，肯定小于Amax。
4.5 一张图看懂所有情况
下面这张SVG图，把三种情况的关系画清楚了。我建议你把它打印出来贴在工位上。
4.6 实际项目中的避坑指南
好了，公式和代码都给你了。但光有这些还不够，我在实际项目中踩过的坑，今天一并告诉你：
- 浮点精度问题：嵌入式MCU的float精度有限，尤其是开立方运算。我建议所有中间变量用double，最后输出时再截断。
- 边界条件检查：如果S_total刚好等于某个临界值，比如刚好等于
Amax^2 / Jmax，这时候T2=0，但T1、T3正常。代码里要处理这种“等于”的情况。 - 时间参数不能为负：任何一段算出来是负数，直接置0。然后重新计算实际能达到的V_peak或A_peak。
- 单位统一：这个不用我多说了吧？Vmax用mm/s，Amax用mm/s²，Jmax用mm/s³。我曾经见过有人把Vmax写成m/s，Amax用mm/s²，结果差了1000倍。
一个小技巧：写完时间参数计算后，用这些时间反算一遍位移，看是否等于S_total。误差在1e-6以内就算通过。这是我最常用的自检方法。
好了，这一章的内容就到这里。时间参数计算是S曲线规划里最“数学”的部分，但只要你把决策树理清楚，剩下的就是套公式。下一章我们会讲怎么把这些时间参数转换成实际的位置指令，也就是“插补”环节。
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