4. 逐点比较法实现：偏差计算、进给方向判定、终点判别

逐点比较法，说白了就是让刀具一步一步“摸着石头过河”。

每走一步，都算算当前位置跟理想圆弧差了多少。然后决定下一步往哪走。就这么简单。

我刚开始做数控系统那会儿，觉得这方法太笨了。后来才发现，它稳定、可靠，特别适合硬件资源有限的嵌入式系统。你想想看，没有浮点运算器，没有三角函数库，照样能走出漂亮的圆弧。

4.1 核心思想：步步为营

逐点比较法的核心逻辑就三个步骤：

1. 偏差计算：算一下当前点离圆弧有多远
2. 进给方向判定：根据偏差值，决定下一步往X还是Y方向走
3. 终点判别：看看走完了没有

这三个步骤循环执行，直到终点。嗯，就这么简单粗暴。

4.2 偏差计算：怎么判断偏了？

假设我们要加工第一象限的逆圆弧。圆心在原点，半径为R。当前刀具在点P(x, y)。

偏差值F的定义很简单：

F = x² + y² - R²

为什么这么定义？

• 如果F = 0，说明点P正好在圆弧上
• 如果F > 0，说明点P在圆弧外侧（离圆心远了）
• 如果F < 0，说明点P在圆弧内侧（离圆心近了）

我记得第一次在示波器上看这个偏差值的变化，特别有意思。它就像个“指南针”，告诉你该往哪个方向修正。

4.3 进给方向判定：往哪走？

判定规则其实很直观：

• 如果F ≥ 0（在圆弧上或外侧），下一步向-X方向走一步
• 如果F < 0（在圆弧内侧），下一步向+Y方向走一步

为什么会这样？你想想看：

当F ≥ 0时，刀具偏外了。我们需要让它往圆心方向走，也就是X负方向。当F < 0时，刀具偏内了，需要让它远离圆心，也就是Y正方向。

这个逻辑，说白了就是“哪边偏了就往反方向修”。

4.4 终点判别：怎么知道走完了？

终点判别有三种常用方法：

方法	原理	优缺点
总步数法	预先计算X和Y方向的总步数，每走一步减1	简单可靠，我最常用
坐标比较法	实时比较当前坐标与终点坐标	需要做减法，但更直观
偏差值法	当偏差值连续变化到某个阈值时停止	精度可控，但实现复杂

我个人习惯用总步数法。为什么？因为它不依赖坐标值，不会因为坐标累加误差导致终点判不准。

4.5 递推公式：别每次都算平方

如果每次都用F = x² + y² - R²，计算量太大了。尤其是早期数控系统，CPU性能有限。

所以，我们用递推公式。假设当前点偏差为F，走一步之后的新偏差F'可以这样算：

向-X方向走一步（x' = x - 1）：

F' = (x-1)² + y² - R²
   = x² - 2x + 1 + y² - R²
   = F - 2x + 1

向+Y方向走一步（y' = y + 1）：

F' = x² + (y+1)² - R²
   = x² + y² + 2y + 1 - R²
   = F + 2y + 1

你看，只需要做加法和移位操作，连乘法都省了。这就是逐点比较法能在8位单片机上跑起来的原因。

4.6 完整流程：一个例子走一遍

假设我们要从点A(4, 0)到点B(0, 4)，走第一象限逆圆弧。半径R=4。

总步数 = |4-0| + |0-4| = 8步。

初始偏差F₀ = 4² + 0² - 4² = 0。

走几步看看：

步数	当前点	偏差F	判定	进给方向	新偏差F'
0	(4, 0)	0	F ≥ 0	-X	0 - 2×4 + 1 = -7
1	(3, 0)	-7	F < 0	+Y	-7 + 2×0 + 1 = -6
2	(3, 1)	-6	F < 0	+Y	-6 + 2×1 + 1 = -3
3	(3, 2)	-3	F < 0	+Y	-3 + 2×2 + 1 = 2
4	(3, 3)	2	F ≥ 0	-X	2 - 2×3 + 1 = -3
5	(2, 3)	-3	F < 0	+Y	-3 + 2×3 + 1 = 4
6	(2, 4)	4	F ≥ 0	-X	4 - 2×2 + 1 = 1
7	(1, 4)	1	F ≥ 0	-X	1 - 2×1 + 1 = 0
8	(0, 4)	0	终点	-	-

走完8步，正好到终点。完美。

4.7 代码实现：C语言版

下面是一个完整的逐点比较法圆弧插补函数。我尽量写得简洁，方便你移植到自己的项目里。

// 第一象限逆圆弧逐点比较法插补
// start_x, start_y: 起点坐标
// end_x, end_y: 终点坐标
// radius: 圆弧半径
void arc_interpolate(int start_x, int start_y, int end_x, int end_y, int radius) {
    int x = start_x;
    int y = start_y;
    int F = x*x + y*y - radius*radius;  // 初始偏差
    int steps = abs(end_x - start_x) + abs(end_y - start_y);  // 总步数
    
    while (steps > 0) {
        // 偏差判定和进给
        if (F >= 0) {
            // 向-X方向走一步
            x--;
            F = F - 2*x - 1;  // 注意：这里x已经减1了，所以公式变成F - 2x - 1
        } else {
            // 向+Y方向走一步
            y++;
            F = F + 2*y - 1;  // 同理，y已经加1了
        }
        
        steps--;
        
        // 这里可以输出当前坐标，或者驱动电机
        // printf("Step %d: (%d, %d), F=%d\n", steps, x, y, F);
    }
}

4.8 知识体系总览

下面这张图，把逐点比较法的核心逻辑串起来了。我建议你把它存下来，调试的时候对照着看。

这张图把整个流程串起来了。你顺着箭头走一遍，就是一次完整的插补过程。

4.9 我的几点体会

• 别小看逐点比较法：虽然它看起来简单，但在很多工业场景下，它比复杂的插补算法更可靠。我见过一些高端数控系统，在低速高精度加工时，反而会切回逐点比较法。
• 注意象限切换：不同象限的进给方向不同。我习惯在代码里用查表法，把8种情况（4个象限 × 顺圆/逆圆）的进给方向提前算好，运行时直接查表，又快又不容易出错。
• 速度控制：逐点比较法天然是匀速的——每走一步时间固定。但如果你需要变速，可以在进给方向判定后，插入一个延时函数。延时长短决定进给速度。

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